Anwenden von Operationen auf Matrizen und wie kann man sich das visuell vorstellen?

Wenn ich eine Matrix habe und daraus die inverse bilde,
kann man sich das dann bildlich irgendwie vorstellen, wie das Objekt als inverse aussieht?

Und wie sieht es bei all den anderen Matrizenoperationen aus:

Z.B. der Matrizenmultiplikation mit einer anderen Matrix.

Oder der Multiplikation mit der Einheitsmatrix.

Könnte mir das jemand versuchen zu erklären wie man sich das visuell veranschaulichen oder vorstellen kann?

Ich kann mit Matrizen zwar inzwischen rechnen, aber ich kann mir noch nicht visuell vorsellen was da genau passiert oder wie so ein Ding nach der Berechnung aussieht.
Daher suche ich nach Erklärungen zu der Frage.

Links zu weiterführender Doku die das visuell erklären wären auch okay.

Wenn die Matrix Dimension <= 3x3 hat, kannst du dir die zugehörige lineare Abbildung anschauen. Matrizenmultiplikation entspricht dann etwa Funktionskomposition, die Einheitsmatrix der identischen Abbildung usw.

Vielleicht hilft das.

Nachtrag: Die lineare Abbildung kann man sich natürlich auch für Dimensionen jenseits von 3x3 anschauen. Nur dann geht die Anschaulichkeit auch recht schnell flöten und man hat nichts gewonnen.

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Eine m x n-Matrix definiert immer eine lineare Abbildung von einem n- in einen m-dimensionalen Vektorraum. Ist B = (b1,..., b_n) Basis von V (dim V = n), C = (c1,...,c_m) Basis von W (dim W = m), dann gibt die i-te Spalte das Bild des i-ten Basisvektors von B in Koordinaten bezüglich C an.
Die Inverse definiert gerade die Umkehrabbildung. Wenn z.B. die Abbildung, die durch A definiert wird, um 30° Grad dreht, dann dreht A^(-1) um -30°. Wenn du also beide hintereinander ausführst, passiert nichts, d.h. du erhältst die Identität. Passenderweise ist A * A^(-1) = Einheitsmatrix.
Matrizenmultiplikation entspricht nicht nur etwa einer Funktionskomposition, sondern sie ist gerade so definiert, dass sie einer Komposition entspricht.

"etwa" war auch im Sinne von "z.B.", und nicht "in etwa" gemeint. Nur so.
Tipp ansonsten wenn's in Mathe kompliziert wird: Bildliche Vorstellung ausschalten. Hilft irgendwann nicht mehr und macht alles nur kompliziert und falsch.

JFB schrieb:

Tipp ansonsten wenn's in Mathe kompliziert wird: Bildliche Vorstellung ausschalten. Hilft irgendwann nicht mehr und macht alles nur kompliziert und falsch.

Grad hier für n<=3 hilft die Anschauung auch prima. Und auch sonst hilft es solche Basics visuell zu verstehen, wenn man z.B. in der Funktionalanalysis Sachen 'hinnehmen' soll.

otze

bei positiv definiten matrizen kann man sich noch sehr gut vorstellen, was die Inverse macht.

dazu kann man sich für die Matrix die Lösungen der quadratische Form x^TAx=1 anschauen. Die Lösungen bilden eine rotierte Ellipse. Die "Spitzen" der Ellipse sind dabei die Richtungen der Eigenvektoren und die Distanz der Spitze zum Mittelpunkt die Eigenwerte. Die Lösungen für die inverse Matrix, x^T A^-1 x hat die Spitzen in den selben Richtung aber genau invertierte Längen :).

Die inverse Matrix ist einfach die Koordinatendarstellung der inversen Abbildung.