Fragen zur Diskreten Mathematik

Guten Abend.

Ich arbeite gerade durch die Skripte aus meinen Mathevorlesungen und versuchte die dort getroffenen Definitionen zu verstehen. Allerdings stellen sich mir dabei einige Fragen. Wäre sehr nett wenn sie sich einer von Euch einmal durchlesen und eventuell auch beantworten könnte.

1.) Sei R eine binäre Relation aus den Mengen A und B. Wie ist das Relationsprodukt R o R zu berechnen? Wie das von zwei unterschiedlichen Relationen aus 3 betroffenen Mengen ist ist klar, aber wie ist das, wenn nur 2 Mengen exisitieren?

2.) Die transitive Hülle der Relation : "die Mutter von k ist m" ist die Menge der Tupel :
(k'; m'), so dass gilt: "k' hat seine Mitochondrien von m' geerbt."
( betrachtet wurde hier eine binäre Relation aus A )

Das Beispiel verstehe ich nicht. Ich dachte die transitive Hülle verstanden zu haben : Sei A = { 1, 2, 3, 4 } und R = { (1, 2 ), ( 2, 3 ) } dann ist die transitive Hülle von R = { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 1, 3 ) }. So hatte ich das verstanden, das Beispiel allerdings verwirrt mich.

3.) Homomorphismus. Verstehe ich auch nicht so ganz, bzw. verstehe ich nicht was ich damit anfangen soll oder was damit von mir verlangt wird.
Ein Beispiel : f(x) ( f : A -> B ) = 2x. A = { 1 , 2 , 3 } damit ist B = { 2, 4, 6 }.
Nun haben wir 2 Relationen R = { ( 1, 2 ) } und R' = { ( 2, 4 ) }. Jetzt ist wohl nach Definition die Funktion f ein Homomorphismus von R nach R'.
Und jetzt? Geht es darum, dass ich für gegebenes R und R' und f oder was auch immer bestimmte ob die Funktion ein Homomorphismus ist oder was soll ich damit anfangen?

Danke schonmal im Voraus und schönen Abend noch

Mfg

Jester

Zumindest mal zu 3):

Warum ist das denn ein Homomorphismus? -- Richtig, weil (a,b) in R impliziert (f(a),f(b)) in R'. Die Abbildung respektiert also die Struktur von R in gewisser Weise: Homomorphismen sind struktur-respektierende Abbildungen.

Das mag auf den ersten Blick nicht soo nützlich sein, spielt aber in fast der gesamten Mathematik eine sehr grundlegende Rolle. Eigentlich will man fast immer mathematische Objekte untersuchen und etwas darüber verstehen. Es hat sich gezeigt, dass es ein überaus nützliches Werkzeug ist, Abbildungen zwischen diesen Objekten zu untersuchen, weil man dadurch ungemein viel über die Objekte selbst lernt. Allerdings müssen die Abbildungen auch zu den Objekten passen, sonst "sieht" man nichts. Und genau da kommen Homomorphismen ins Spiel, die sind oftmals genau die "richtige" Art von Abbildungen, die man nehmen muß um ganz viel zu lernen und trotzdem vernünftig damit arbeiten zu können. Das ist ein Muster, das sich mindestens durch die komplette Algebra zieht, aber auch weit darüber hinaus verbreitet ist.

Jester schrieb:

Zumindest mal zu 3):

Warum ist das denn ein Homomorphismus? -- Richtig, weil (a,b) in R impliziert (f(a),f(b)) in R'. Die Abbildung respektiert also die Struktur von R in gewisser Weise: Homomorphismen sind struktur-respektierende Abbildungen.

Das mag auf den ersten Blick nicht soo nützlich sein, spielt aber in fast der gesamten Mathematik eine sehr grundlegende Rolle. Eigentlich will man fast immer mathematische Objekte untersuchen und etwas darüber verstehen. Es hat sich gezeigt, dass es ein überaus nützliches Werkzeug ist, Abbildungen zwischen diesen Objekten zu untersuchen, weil man dadurch ungemein viel über die Objekte selbst lernt. Allerdings müssen die Abbildungen auch zu den Objekten passen, sonst "sieht" man nichts. Und genau da kommen Homomorphismen ins Spiel, die sind oftmals genau die "richtige" Art von Abbildungen, die man nehmen muß um ganz viel zu lernen und trotzdem vernünftig damit arbeiten zu können. Das ist ein Muster, das sich mindestens durch die komplette Algebra zieht, aber auch weit darüber hinaus verbreitet ist.

Vielen Dank für die Antwort!

Im Endeffekt bedeutet das - grob gesehen - dass ich momentan nicht wirklich verstehen soll bzw. kann, wo der tiefere Sinn dahinter steckt. Klar, du hast mir jetzt erzählt, DASS es einen gibt, in verschiedenen Themengebieten. Aber viel vorstellen kann ich mir darunter jetzt trotzdem nicht, einfach weil ich mich mit den genannten Themengebieten nicht beschäftigt habe bzw nicht beschäftigen muss.
Ich hoffe nur, dass sich die Aufgaben in den Prüfungen dann auch wirklich nur auf Definition und minimale Anwendung beschränken ;P

Danke auf jeden Fall noch mal!

Jester

Du solltest denke ich zumindest verstanden haben wie ein Homomorphismus definiert ist, und für eine gegebene Abbildung beweisen/widerlegen können, dass sie ein Homomorphismus ist.

Alles weitere kommt dann ggf. Mit der Zeit. wenn sonst nix eiter zu Homomorphismen dran war, dann wird das wahrscheinlich reichen.

Servus Jungs,

mir tut sich hier leider wieder eine Frage auf, die ich etwas genereller stellen muss :
Was mich immer wieder plagt, wenn ich dazu aufgefordert werde irgendwelche abstrusen Zahlen-Kombinationen und Spielerein zu beweisen, ist : Was darf ich annehmen? Streng genommen wären das ja nur die Axiome, aber das ist irgendwie dann schon etwas übertrieben wenn man aus diesen immer wieder andere Dinge erst einmal herleiten muss, die man später im eigenen Beweis verwenden will?

Konkret hat sich mir die Frage bei folgender Aufgabe gestellt :

Man soll beweisen oder widerlegen : ∀( x, y )∈N | x > 2y | ( ∃z ∈ N | x > z > y | )

Ich hätte jetzt versucht damit zu arbeiten, dass ( zmnd nach meiner Betrachung ) gilt : ∀x,y ∈N | x > 2y ∧ x > y + 1 |

Aber sowas darf ich wahrscheinlich gar nicht annehmen?
D.h sowas müsste ich dann wieder beweisen. Fällt mir spontant gar ncihts zu ein und bei komplexeren Beweisen würde sich sowas sicherlich ewig weiter ziehen ;/

knivil

Aber sowas darf ich wahrscheinlich gar nicht annehmen?

Ist ja auch falsch fuer x=1 und y=0.

also x > 2y ist vorausgesetzt:
fallunterscheidung fuer y>0 bzw. y=0 (wenn N bei euch ohne 0 ist, dann faellt y=0 natuerlich weg)

y=0, x=1 -> gibt kein weiteres z mit x > z > y

y>0; (weil y aus N ohne 0)
=> y + y > y
=> 2y > y
mit x > 2y (Voraussetzung) und 2y > y folgt (Transitivitaet) x > 2y > y
setze z = 2y

also folgt aus x,y aus N und x > 2y, dass es ein z mit x > z > y gibt.

knivil schrieb:

Aber sowas darf ich wahrscheinlich gar nicht annehmen?

Ist ja auch falsch fuer x=1 und y=0;

0 zähle ich persönlich nicht zu den natürlichen Zahlen, wenn ich es nicht explizit mit N0 angebe.

Ich weiß auch gar nicht was du mit so einem Posting erreichen willst.
Dass er unglaublich sinnlos ist, wird dir selber klar sein.

Wenn du Kritik an der Art hast, wie ich Fragen stelle, oder der Meinung bist, dass das was ich betreibe niemals Ergebnis bringend sein kann, dann sag das direkt und explizit und deute es nicht in solch einem Posting an.

knivil

Aber sowas darf ich wahrscheinlich gar nicht annehmen?

Du darfst annehmen, x und y aus N und x > 2y. Dann darfst du noch alles benutzen, was du ueber die natuerlichen Zahlen weisst, also Addition und Ordnungsrelation.

0 zähle ich persönlich nicht zu den natürlichen Zahlen, wenn ich es nicht explizit mit N0 angebe.

Ach, das kann ich natuerlich wissen ... Ich zeahle die 0 zu den natuerlichen Zahlen.

Ich weiß auch gar nicht was du mit so einem Posting erreichen willst.
Dass er unglaublich sinnlos ist, wird dir selber klar sein.

Wenn du Kritik an der Art hast, wie ich Fragen stelle, oder der Meinung bist, dass das was ich betreibe niemals Ergebnis bringend sein kann, dann sag das direkt und explizit und deute es nicht in solch einem Posting an.

Ja, alle wollen dir boeses. Dreiste Unterstellung. Trotzdem viel Spass mit der Loesung.

Du willst mir also im Ernst erzählen, dass Du beim Verfassen deine Postings nicht einmal darauf gekommen bist, dass es eventuell möglich ist, dass jemand die 0 ohne explizite Angabe nicht zu den natürlichen Zahlen zählt?

Wenn Du dein Posting so abgeschickt hättest, wie Du ihn editiert hast, hätte ich nichts gesagt und auch nichts dabei gedacht. Aber hier im Forum wird einem gerne einfach ein Einzeiler mit Offensichtlichkeiten entgegen geworfen und in 99% der Fälle wird so geantwortet, weil die Fragestellung einfach unglaublich ungenau war und gar keine sinnvollen Antworten zulies.
Und jetzt sagt mir bitte nicht, dass Du nicht weißt wovon ich rede.

Ich danke Dir trotzdem für die Lösung und die Antwort auf "was darf ich annehmen"-Frage.

ScottZhang

Du hast wohl immer was zu meckern, was