Denkfehler exponentielles Wachstem

Wo ist der Denkfehler?

Angenommen ein Bakterium teilt sich jede Sekunde. Nach 60 Sekunden ist die Petrischale voll. Nach wie vielen Sekunden ist die Petrischale halbvoll.

Antwort: 59 Sekunden

Wenn ich das jetzt mal in Differentialgleichung übersetze bedeutet das

dy/dt = 2y ==> y = ce^(2t)

y(t) = y(60)
<=> ce^(2t) = 0.5*(ce^120)
<=> t = (ln0.5 + 120) / 2
<=> 59.65342641 im GGS zu 59 Sekunden

Korrektur. Es muss natürlich heißen:

y(t) = 0.5 * y(60)

knivil

Und jetzt mal diskret mit Folgen und Reihen ...

Hmmmm

y(t)=2y(t-1)=2*2*y(t-2)=...=2^t*y(0)

y(t)=0.5y(60)
2^t*y(0)=0.5*260y(0)
2^t=259
t=59

Das war jetzt Rekursionsformel... Wie geht das mit Reihen?

Danke

krümelkacker

daviddavid schrieb:

Angenommen ein Bakterium teilt sich jede Sekunde. Nach 60 Sekunden ist die Petrischale voll. Nach wie vielen Sekunden ist die Petrischale halbvoll.

Antwort: 59 Sekunden

Wenn ich das jetzt mal in Differentialgleichung übersetze bedeutet das

dy/dt = 2y

Hier ist der Denkfehler: Da müsste ln(2)*y auf der rechten Seite stehen.

knivil

Da müsste ln(2)*y auf der rechten Seite stehen.

Warum, nur damit das richtige Ergebnis herauskommt?

krümelkacker

knivil schrieb:

Da müsste ln(2)*y auf der rechten Seite stehen.

Warum, nur damit das richtige Ergebnis herauskommt?

Frag ihn doch mal, wie er auf 2y kommt. Das ist mir ein größeres Rätsel.

Wenn du pro Sekunde eine Verdopplung hast, dann hat die Sekante zwischen (t,y(t)) und (t+1,2*y(t)) die Steigung y(t). Logisch, oder? Diese Sekante entspricht aber nicht der Tangenten im Punkt (t,y(t)); denn wir wissen, dass die Ableitung streng monoton steigt und die gesuchte Funktion daher konvex. Die Steigung der Tangenten bei (t,y) ist also kleiner als y.

Auf diese Steigung kommt man glaub'ich nur Rückwärts:

Die Punkte des Graphen sind gegeben durch (t,y0*2^(t-t0)).
Und 2^x = (e^(ln(2)))y = e^(ln(2)y). Damit ist y dann
y = y0*e^(ln(2)*(t-t0))
Und y nach t abgeleitet ist dann
ln(2)*y0*e^(ln(2)(t-t0)) = ln(2)*y.

Daher kommt das ln(2).

Das sollte auch nicht soooo verwundern. Bei dy/dt=y mit y(0)=1 kommt ja schon die e-Funktion raus, bei der sich pro Sekunde der Funksionswert ver-e-fachen würde. Mit dem Faktor ln(2) streckt man den Graphen dann ein bisschen, so dass pro Sekunde eben nur eine Verdoppelung stattfindet.

Vielleicht kommt man auch per Limes drauf, wenn man die Sekante zur Tangenten konvergieren lässt. Aber das ist glaub'ich fast dasselbe. Also nach x=1 Sekunden gibt es eine Verdoppelung. Nach x=0.5 Sekunden eine Ver-sqrt(2)-fachung. u.s.w. .... also nach x Sekunden eine Ver-(2^x)-fachung ... Man leitet dann im Endeffekt wieder 2^x nach x ab, was dann wieder ln(2)*2^x ist ...