steife DGL
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Hallo zusammen,
zwar weiß ich, wie man herausfindet, ob eine DGL steif ist oder nicht, doch irgendwie kann ich mir darunter nichts vorstellen. Ich rechne also nur vor mich hin, doch was bedeutet das? Meine DGL ist steif?!
Kann mir jemand helfen?
LG, freakC++
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na steif halt, sie lässt sich nich glattbügeln
Man muss alle Feinheiten mitnehmen (also klien schrittweite) um ne ordnetliche lösung zu bekommen
(anschaulicher krieg ichs nich hin, vllt fällt mir noch was ein)
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Eine DGL ist steif, wenn schon kleine Veränderungen an Variablen große Änderungen an der Funktion erzeugen.
Ich denke der Name rührt von Federn. Man kann Gelenke zum Beispiel durch Feder-Systeme modellieren, mit ganz besonders steifen Federn, das ist wohl auch das realistischste, was man machen kann. Allerdings werden die wirkenden Kräfte schon durch kleine auslenkungen extrem groß, sodass sich bei numerischer Simulation ein Aufschwingen der DGL feststellen lässt, eben weil die Kraft so groß wird, dass das Gelenk unter Betrachtung der beteiligten Massen innerhalb der Schrittweite überkompensiert.
Die durch steife DGLs beschriebenen System haben auch besonders hohe Eigenfrequenzen, womit eine andere Begründung geliefert werden könnte, dass man die DGL mit kleinen Schrittweiten "abtasten" muss.Wenn das alles falsch ist, hab ich's wenigstens riskiert
Edit: Das da oben kann man natürlich mit den umständen entsprechenden großen Koeffizienten gleichsetzen.
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Hallo,
vielen Dank für euere Antworten. Ich hatte es aber genau anders herum verstanden. Wenn eine DGL steif ist und ich Steifheit mit einer Feder vergleiche, so ändert sich diese trotz großer äußerer Änderungen nicht sehr, da die Feder eben steif ist. Steife System müssten also stabil sein.
Wer von uns halt also recht?
edit: Und warum eignen sich für steife Systeme implizite Integratoren mehr?
Danke und viele Grüße
freakC++
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freakC++ schrieb:
Hallo,
vielen Dank für euere Antworten. Ich hatte es aber genau anders herum verstanden. Wenn eine DGL steif ist und ich Steifheit mit einer Feder vergleiche, so ändert sich diese trotz großer äußerer Änderungen nicht sehr, da die Feder eben steif ist. Steife System müssten also stabil sein.Weiß nicht.
Wenn ich gegen eine steife Feder haue, tue ich mir ganz aua, weil supi hohe Kräfte und Beschleunigungen entstehen.
Aber wenn ich gegen eine weiche Feder haue, ist alles in Butter.
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freakC++ schrieb:
vielen Dank für euere Antworten. Ich hatte es aber genau anders herum verstanden. Wenn eine DGL steif ist und ich Steifheit mit einer Feder vergleiche, so ändert sich diese trotz großer äußerer Änderungen nicht sehr, da die Feder eben steif ist. Steife System müssten also stabil sein.
Ihr Bide. ihr schaut euch einfach nur das Verhalten aus unterschiedlichen Perspektiven an:
Du: ich muss eine große Kraft aufbringen, um die Feder zu verändern.
Er: wenn die Feder verändert wird, treten große Kräfte auf.
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Steif im Sinne von Feder hat nichts mit Steif im Sinne von DGL zu tun. Eselsbruecken sind fehl am Platz. Steif bei DGLs hat was mit Stabilitaet zu tun. Und jetzt nicht im Sinne von stabile Konstruktion eines Hauses, sondern im Sinne von Stabilitaet der Loesung. Dabei gibt es keine Definition a la "Eine DGL heisst steif, wenn .." . Alles andere siehe google.de.
Und warum eignen sich für steife Systeme implizite Integratoren mehr?
Physikalisch gesprochen pumpen explizite Verfahren Eergie in das System, implizite Verfahren nehmen Energie aus dem System. Den namen fuer energieerhaltene Verfahren (als Zusatzbedingung) habe ich vergessen, ach ja, symplektische Integration.
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Kannst Du darauf noch etwas näher eingehen knivil? Mit diesen Energiebetrachtungen meine ich. Klingt irgendwie interessant, aber ich sehe da jetzt gerade noch nicht die physikalischen Äquivalenzbetrachtungen, die zu dieser Aussage führen. Würde ich gerne einsehen!
Ich hatte nach meiner Antwort noch etwas rumrecherchiert, es dann aber dabei belassen. Bei den Recherchen kam ich aber auch über Seiten, die halt beschrieben haben, wie die Bezeichnung steif eben aus den Eigenschaften von elastischen Systemen kam. Daher dachte ich, dass ich so falsch gar nicht liegen könne. Was die Mathematiker da hinerher dann rausabstrahieren steht natürlich wieder auf dem anderen Blatt. Dort wird dann noch über unterschiedliche Zeitskalen palawert, die ich jetzt bei meinen Gedanken vorausgesetzt habe. Wenn ich irgendwas numerisch über DGLn simuliere und Positionsbeschränkungen/Gelenkrestriktionen über steife Federn implementiere, dann ist die Bewegung des Gesamtsystem "langsam" gegenüber den Effekten, die in den modellierten Positionsbeschränkungen/Gelenken bei Beschleunigungen auftreten, und ich muss mit der Schrittweite runtergehen, damit das nicht instabil wird in der Simulation. Ich bin der Meinung, dass man so halt eben bei "steifen" DGLn landet, auch wenn es da eben inzwischen mathematisch akstraktere Definition für gibt.
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Und warum eignen sich für steife Systeme implizite Integratoren mehr?
Ja man, überlegt doch ma. Explizite Verfahren ist es völlig schnuppe wo es hingeht. Wenn dir dein Lösung also explodiert, dann explodiert sie. Bei impliziten Verfahren guck man rückwärts, wo komme ich her.
Mit Energie hat das wenig zu tun.Guck dir doch die Mathematik an. Da gibs schöne Bücher und es ist auch sehr inetressantes Gebiet. Mit solchen Analogien kommt man da nicht weit.
Mathematisch liegt das daran das explizite Verfahren Polynome als Stabilitätsfunktion haben (Nach rechnen!) und die gehen bekanntlihc gegen . Implizite Verfahren haben rationale Funktione als Stabilitätsfunktion, die unter Umständen beschränkt bleiben.
Edit: Ach ja und es gibt keine definition für Steifheit von DGL'en.
Edit2: Der Vergleich mit der Feder passt schon. Bei einer sehr steifen Feder hat man es unter Umständen mit verschieden Skalen zu tun. Schnelle Oszillation, vllt noch gepaart mit relativ langsamen Gesamtbewegung und schon ist das Problem schwer zu lösen. Die kleinen oszis klingen vllt schnell ab und tragen nicht viel zu Gesamtbewegung bei, dennoch muss man sie Auflösen weil eben kleine Störung große Störungen in den Kräften bedeuten wie schon gesagt wurde, was wiederum zu großen Fehlern führt usw. ...
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ScottZhang schrieb:
Mit Energie hat das wenig zu tun.
Wenn man sich die numerischen Loesungen der Verfahren im Phasenraum anschaut, dann schon.
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Sowohl implizite als auch symplektische Verfahren müssen nicht a-stabil sein, so meinte ich das
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Steife DGLs besitzen Anteile, die sehr schnell abklingen (stark negative Eigenwerte) und deswegen eigentlich nicht viel zur Dynamik beitragen.
Explizite numerische Verfahren bekommen damit aber Probleme, weil sie aufgrund der hohen Ableitungen über das Ziel hinausschießen bzw. viel zu kleine Schrittweiten brauchen um dieses schnelle Abklingen richtig abzubilden.
Überleg dir z.B. mal kurz, was passiert, wenn du die DGL
x' = -100*x
x(0) = 1
mit explizitem Eulerverfahren mit Schrittweite 1 löst.Steife DGLs sind also i.A. stabil, in manche Richtungen 'zu stabil', sodass explizite Verfahren nur bei sehr kleiner Schrittweite stabil bleiben.