Analysis I

Ich habe demnächst Klausur in Analysis I und habe hier einige Aufgaben, die ich nicht lösen kann.

1. Sei f: R->R eine stetige Funktion mit $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) = 0$ . Zeigen sie, dass f beschränkt ist.

Anschaulich ist mir das total klar, aber ich weiß keinen Ansatz wie ich da rangehen könnte.

2.Zeigen sie, dass es keine Funkion f: [0,1] -> R geben kann, die jeden Wert genau zweimal annimmt.

Im Königsberger ist eine ähnliche Aufgabe mit Lösung, die ich aber nicht nachvollziehen kann. Wenn jemand den Königsberger (sechste Auflage) vorliegen hat:
ich meine AUfgabe 7.12

Ich habe bei beiden Aufgaben keinen Ansatz gefunden. Nur versucht anhand der Definitionen etwas braucbares u finden, was aber nicht erfolgreich war

Jester

klausurvorbereitung schrieb:

Ich habe demnächst Klausur in Analysis I und habe hier einige Aufgaben, die ich nicht lösen kann.

1. Sei f: R->R eine stetige Funktion mit $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) = 0$ . Zeigen sie, dass f beschränkt ist.

Anschaulich ist mir das total klar, aber ich weiß keinen Ansatz wie ich da rangehen könnte.

Wähle epsilon > 0. Dann gibt es ein x_0, sodass für |x| >= |x_0| gilt, dass |f(x)| < epsilon. Also bleibt zum unbeschränkt sein nur das Intervall I:=[-x_0,x_0]. Das Intervall I ist kompakt, also nimmt |f(x)| darauf das Maximum an.

Soll das f bei der zweiten Aufgabe auch stetig sein?

SeppJ

Gegenbeispiel zu 2: Ein gestauchter Tangens, zum Beispiel:
Google: tan((x-0.25)*2*pi)

Michael E.

Jester schrieb:

Soll das f bei der zweiten Aufgabe auch stetig sein?

Das wäre komisch, weil f nur auf [0,1] definiert ist. Wenn f stetig ist, ist die Funktion beschränkt.

Michael E.

SeppJ schrieb:

Gegenbeispiel zu 2: Ein gestauchter Tangens, zum Beispiel:
Google: tan((x-0.25)*2*pi)

Das ist kein Gegenbeispiel. Denn du hast mittendrin eine Definitionslücke, die du noch füllen müsstest. Du hast aber keinen Zielwert mehr frei.

Michael E.

Ich hab im Königsberger nachgeschaut und vermute einfach mal, dass der Aufgabensteller des OP die Aufgabenstellung vom Königsberger kopieren wollte und ihm dabei ein Fehler unterlaufen ist. Denn im Königsberger heißt es:

Es gibt keine stetige reelle Funktion auf [0;1], die jeden ihrer Werte genau n-mal annimmt.

Das "ihrer" ist wichtig, denn es bedeutet, dass jedes x aus den reellen Zahlen entweder nicht im Bild liegt oder genau n Urbilder hat. In der Aufgabenstellung des OP steht hingegen "jeder Wert". Dann müsste insbesondere jede reelle Zahl im Bild liegen, was bei einer stetigen Funktion auf einem Kompaktum nicht drin ist.

Was verstehst du denn nicht an der Lösung im Königsberger?

Vielen Dank soweit.

Ich habe bei der zweiten Aufgabe doch tatsächlich vergessen anzugeben, dass die Zielfunktion STETIG sein sollte.

Also: Es gibt keine STETIGE Funktion auf [0,1] die jeden Wert genau 2 mal annimmt.

Jockelx

f muss stetig sein, aber natürlich nicht surjektiv.
Stetig ist klar, weil sonst so ein Graph ginge: //
(Hoffe verständlich was ich meine).
Die Funktion nimmt Max und Min an (2x nach Voraussetzung) und es ist klar, dass der Graph dann so /\ oder so \/ auszusehen hat.
Zu beweisen ist, dass in der "Spitze" nicht zwei Maxima direkt "nebeneinander" liegen können, was aber auch klar ist.

Das "ihrer" ist wichtig, denn es bedeutet, dass jedes x aus den reellen Zahlen entweder nicht im Bild liegt oder genau n Urbilder hat. In der Aufgabenstellung des OP steht hingegen "jeder Wert". Dann müsste insbesondere jede reelle Zahl im Bild liegen, was bei einer stetigen Funktion auf einem Kompaktum nicht drin ist.

Was verstehst du denn nicht an der Lösung im Königsberger?

genau dieses IHRER habe ich in der Aufgabensellung des KB nicht verstanden. Weiterhing halte ich
den Satz in der Lösung : y < f(x_1) für falsch. Weiterhin ist mir nicht automatisch klar, warum eine solche Funktion dann n Maxima hätte

Anmerkung: Dieser Beitrag bezieht sich nur auf den Königsberger und hat mit der vorhin geposteten Aufgabe nichts zu tun

Michael E.

Jockelx schrieb:

Stetig ist klar, weil sonst so ein Graph ginge: //
(Hoffe verständlich was ich meine).

Nein. Ganz links ist der Funktionswert von 0, ganz rechts der Funktionswert von 1 (beachte: abgeschlossenes Intervall). Dann müssen sowohl das Maximum als auch das Minimum in der Mitte von x = 0.5 angenommen werden.

Die Funktion nimmt Max und Min an (2x nach Voraussetzung) und es ist klar, dass der Graph dann so /\ oder so \/ auszusehen hat.

Damit bist du wiederum ziemlich nah an der Vorlage von Königsberger, weshalb ich den OP gefragt habe, was er da nicht verstanden hat.

Michael E.

klausurvorbereitung schrieb:

genau dieses IHRER habe ich in der Aufgabensellung des KB nicht verstanden.

Wie gesagt: Es sorgt einfach dafür, dass die Funktion nicht surjektiv sein muss.

Weiterhing halte ich
den Satz in der Lösung : y < f(x_1) für falsch.

f nimmt in x_1 ein Maximum an und in y nicht, weil y keines der x_1,...x_n ist.

Weiterhin ist mir nicht automatisch klar, warum eine solche Funktion dann n Maxima hätte

Jeder Wert des Bildes wird n-mal angenommen, insbesondere das Maximum.

Jockelx

Michael E. schrieb:

Jockelx schrieb:

Stetig ist klar, weil sonst so ein Graph ginge: //
(Hoffe verständlich was ich meine).

Nein. Ganz links ist der Funktionswert von 0, ganz rechts der Funktionswert von 1 (beachte: abgeschlossenes Intervall). Dann müssen sowohl das Maximum als auch das Minimum in der Mitte von x = 0.5 angenommen werden.

Ja, stimmt

Michael E. schrieb:

Die Funktion nimmt Max und Min an (2x nach Voraussetzung) und es ist klar, dass der Graph dann so /\ oder so \/ auszusehen hat.

Damit bist du wiederum ziemlich nah an der Vorlage von Königsberger, weshalb ich den OP gefragt habe, was er da nicht verstanden hat.

Hab dein Edit nicht gesehen und hab den Königsberger nicht (und fand ihn Mist, so nebenbei).

Michael E. schrieb:

klausurvorbereitung schrieb:

genau dieses IHRER habe ich in der Aufgabensellung des KB nicht verstanden.

Wie gesagt: Es sorgt einfach dafür, dass die Funktion nicht surjektiv sein muss.

Weiterhing halte ich
den Satz in der Lösung : y < f(x_1) für falsch.

f nimmt in x_1 ein Maximum an und in y nicht, weil y keines der x_1,...x_n ist.

Weiterhin ist mir nicht automatisch klar, warum eine solche Funktion dann n Maxima hätte

Jeder Wert des Bildes wird n-mal angenommen, insbesondere das Maximum.

achso, es ist also

f(x_1) = f(x_2) = ... = f(x_n)

dann ist das klar. Ich hab bisher irgendiwe noch lokale Maxima im Kopf gehabt...