Frage zur Stegigkeit
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Hi there!
some script schrieb:
Sei f:[0,2]->R definiert durch f(x) = 1 für x ∈ [0, 2] mit x ≠ 1 und f(1) = 3.
Dann ist f in 1 nicht stetig, denn die Folge (1 + 1/n) konvergiert gegen 1, aber
(f(1+1/n)) konvergiert nicht gegen f(1) = 3.Meine Frage: warum konvergiert (f(1+1/n)) nicht gegen 3 und gegen welchen
Wert konvergiert (f(1+1/n)) ?
Danke schonmal!
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stetig unwissend schrieb:
Hi there!
some script schrieb:
Sei f:[0,2]->R definiert durch f(x) = 1 für x ∈ [0, 2] mit x ≠ 1 und f(1) = 3.
Dann ist f in 1 nicht stetig, denn die Folge (1 + 1/n) konvergiert gegen 1, aber
(f(1+1/n)) konvergiert nicht gegen f(1) = 3.Meine Frage: warum konvergiert (f(1+1/n)) nicht gegen 3 und gegen welchen
Wert konvergiert (f(1+1/n)) ?f(1+1/n) = 1 für alle n, also konvergiert sie insbesondere auch gegen 1.
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ich dachte man muss, um den grenzwert zu erhalten, n -> ∞ gehen lassen und dann geht doch 1/n gegen 0 und es steht nur noch f(1) da
und es ist f(1) = 3.
wo ist mein denkfehler?
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stetig unwissend schrieb:
ich dachte man muss, um den grenzwert zu erhalten, n -> ∞ gehen lassen und dann geht doch 1/n gegen 0 und es steht nur noch f(1) da
und es ist f(1) = 3.Vielleicht solltest du nochmal die Definition der Konvergenz einer Folge nachschlagen.
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nein, das die folge (1+1/n) gegen 1 konvergiert ist mir klar.
das die funktion f in 1 konvergent ist, ist mir auch klar.
mir ist nur nicht klar, warum der grenzwert der abgebildeten folge nicht 3 ist,
also der grenzwert von (f(1+1/n)).
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stetig unwissend schrieb:
wo ist mein denkfehler?
Falsche Definition von Stetigkeit und Konvergenz. Ich gebe dir mal ein ε > 0 vor: Sagen wir ε = 1. Wenn die Folge f(1+1/n) gegen 3 konvergieren würde, dann müsstest du mir ein N nennen können, so dass | f(1+1/n) - 3 | < 1 für alle n > N. so ein N kannst du mir nicht nennen.
Ebenso kannst du mir keine δ-Umgebung um 1 nennen, in der alle Werte von f(x) einen gewissen Abstand (sagen wir wieder ε=1) von f(1)=3 nicht überschreiten, denn alle Werte um f(1) herum sind 1 und haben somit einen Abstand von 2 von f(1).
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stetig unwissend schrieb:
nein, das die folge (1+1/n) gegen 1 konvergiert ist mir klar.
Natürlich, deshalb rede ich ja auch von der Folge (f(1+1/n)), die dir offenbar nicht klar ist.
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SeppJ schrieb:
Ich gebe dir mal ein ε > 0 vor: Sagen wir ε = 1. Wenn die Folge f(1+1/n) gegen 3 konvergieren würde, dann müsstest du mir ein N nennen können, so dass | f(1+1/n) - 3 | < 1 für alle n > N. so ein N kannst du mir nicht nennen.
verdammt, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.
also gilt für alle n ∈
|f(1-1/n)-3| = |-2| > ε = 1.
d.h. im hmkehrschluss, dass diese folge gar nicht konvergent ist,
also keinen grenzwert besitzt. (richig?)
vielen dank für den tipp!
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stetig unwissend schrieb:
verdammt, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.
also gilt für alle n ∈
|f(1-1/n)-3| = |-2| > ε = 1.
d.h. im hmkehrschluss, dass diese folge gar nicht konvergent ist,
also keinen grenzwert besitzt. (richig?)Falsch. Die Folge konvergiert gegen 1. Beweis: f(1-1/n)-1=0 für alle n.
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ja, stimmt, omg was bin ich dämlich.
das ist nicht mein tag
okay, so ist wenigstens alles in harmonie auch mit bashars antworten.
vielen dank noch mal an euch.
