x^n - y^n

Hallo
wie kann ich beweisen, dass für alle k aus der Menge der natürlichen Zahlen und für alle x, y aus der Menge der reellen Zahlen
$x^{k}-y^{k} = (x-y)q_{k}(x) \ mit \ q_{k}(x)=(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+xy^{k-2}+y^{k-1} )$
richtig ist?
Ich habe es durch direktes Einsetzen mit k = 1 versucht, aber es bleiben mir immer irgendwelche Terme über, die sich nicht wegsubtrahieren.
Diese ... machen mich stutzig, wie weit darf k-1, k-2, ... gehen darf das auch negativ werden?! Ich krieg die Krieeeeseeee!
Ein Link mit einem nachvollziehbaren Beweis wäre auch schon schön.
Danke.

volkard

mathematikpraktikant schrieb:

Hallo
wie kann ich beweisen, dass für alle k aus der Menge der natürlichen Zahlen und für alle x, y aus der Menge der reellen Zahlen
$x^{k}-y^{k} = (x-y)q_{k}(x) \ mit \ q_{k}(x)=(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+xy^{k-2}+y^{k-1} )$
richtig ist?
Ich habe es durch direktes Einsetzen mit k = 1 versucht, aber es bleiben mir immer irgendwelche Terme über, die sich nicht wegsubtrahieren.
Diese ... machen mich stutzig, wie weit darf k-1, k-2, ... gehen darf das auch negativ werden?! Ich krieg die Krieeeeseeee!
Ein Link mit einem nachvollziehbaren Beweis wäre auch schon schön.
Danke.

Hast nur die Formel falsch gelesen, fürchte ich.
k-1, k-2 und so sollen nicht negativ sein, sondern die doofen Terme gibt es gar nicht.

x¹-y¹=(x-y)1
x²-y²=(x-y)(x+y)
x³-y³=(x-y)*(x²+x¹y¹+y²)

[url="http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^5-y5%29%2F%28x-y%29&dataset="]Wolfram Alpha[/url]

SeppJ

Das ist sicherlich so gemeint, dass die (k-x) > 0. Sollte bei einer 100% korrekten Aufgabenstellung zwar dabei stehen, aber da darf man auch selber mal draufkommen. Jedenfalls gilt es sonst für k <= 1 offensichtlich nicht, wie man leicht durch Gegenbeispiel zeigen kann, wodurch die Aufgabe ziemlich witzlos wäre.

Bekommst du mit diesem Tipp den Rest selber hin? Ich habe es zwar selber nicht durchgerechnet, die Aufgabe riecht aber nach vollständiger Induktion.

edit: Mal wieder zu spät.

Okay, ich habs gefunden, es gibt ne Summenformel:
$x^{n}-y^{n} = \sum_{i=1}^{n}x^{n-i}-y^{i-1}$
Die n-1 werden also nicht negativ, stümmt!
Diese Summenformel hätte der Autor im Skript ruhig hinschreiben können, da kommt doch so ein Mathelegastheniker wie ich nicht von allein drauf.
Ich danke Euch herzlich für Eure Antworten.

Sorry, die Summenformel hat noch nen Faktor vorne:
$x^{n}-y^{n} = (x-y)\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}-y^{i-1}$

SeppJ

mathematikpraktikant schrieb:

Diese Summenformel hätte der Autor im Skript ruhig hinschreiben können, da kommt doch so ein Mathelegastheniker wie ich nicht von allein drauf.

Scherzkeks. Die Formel ist nicht vorgegeben, weil du sie beweisen sollst!

Außerdem hast du sie falsch abgeschrieben.

Bashar

Ich verstehe irgendwie den Sinn der Aufgabe nicht ganz. Wieso ist $q_k$ gegeben? Da muss man doch nur die rechte Seite ausrechnen und schauen, dass die linke Seite rauskommt. Und ohne diese Angabe wäre es zu dieser Frage nie gekommen :p

SeppJ schrieb:

Außerdem hast du sie falsch abgeschrieben.

Verrrrrrdammt!

So, aber jetzt, letzter Versuch:
$x^{n}-y^{n} = (x-y)\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i-1}$

Bashar schrieb:

Ich verstehe irgendwie den Sinn der Aufgabe nicht ganz.

So geht mir das auch bei manchen Aufgaben, aber was solls, da muss man durch!
:p

SeppJ

mathematikpraktikant schrieb:

So, aber jetzt, letzter Versuch:
$x^{n}-y^{n} = (x-y)\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i-1}$

Da du nicht auf meinen anderen Kommentar eingehst: Fällt dir an dieser Formel nichts auf? Woher wusste ich wohl, dass du sie falsch abgeschrieben hast, ob wohl ich die Formel noch nie gesehen habe?

Jester

SeppJ schrieb:

Bekommst du mit diesem Tipp den Rest selber hin? Ich habe es zwar selber nicht durchgerechnet, die Aufgabe riecht aber nach vollständiger Induktion.

Ich würde sagen sie riecht nach vollständigem nachrechnen und vielleicht einem hauch indexverschiebung in der summe.

SeppJ

Jester schrieb:

Ich würde sagen sie riecht nach vollständigem nachrechnen und vielleicht einem hauch indexverschiebung in der summe.

Ja, das habe ich mittlerweile auch gemerkt . Wie Bashar schon sagte ist die Aufgabe merkwürdig einfach, als ob da irgendetwas mit der Aufgabenstellung nicht stimmt. Komisch, da die Aufgabe ansonsten sehr nach Erstsemesterstoff für die Uni aussieht.

SeppJ schrieb:

Da du nicht auf meinen anderen Kommentar eingehst: Fällt dir an dieser Formel nichts auf? Woher wusste ich wohl, dass du sie falsch abgeschrieben hast, ob wohl ich die Formel noch nie gesehen habe?

Ich vermute, du hast ein bestimmtes n eingesetzt, am einfachsten vllt. das kleinstmögliche n = 1 und hast gesehen, dass rechts 0 rauskommt, obwohl links x - y steht?

Was sollte mit dem Index der von mir zuletzt geposteten Formel nicht stimmen?
Ich habe es bis n = 3 nachgerechnet und das haut so hin.

Was die Aufgabe und deren Sinn betrifft, die Aufgabe hatte ich mit selbst gestellt. In meinem Skript(Uni, Analysis Grundlagen) wird die Polynomdarstellung als Reihe, ohne die Summenformel benutzt und ich war nun mal irgendwie verwirrt weil ich nicht wusste, wie weit der Exponent n-i gehen muss. Wäre die Aufgabe, die Summenformel zu beweisen, müsste man hier mMn mit vollständiger Induktion rangehen.

knivil

Polynomdarstellung

Schon mal ein einfaches Polynom mit negativen Exponenten gesehen?

SeppJ

mathematikpraktikant schrieb:

SeppJ schrieb:

Da du nicht auf meinen anderen Kommentar eingehst: Fällt dir an dieser Formel nichts auf? Woher wusste ich wohl, dass du sie falsch abgeschrieben hast, ob wohl ich die Formel noch nie gesehen habe?

Ich vermute, du hast ein bestimmtes n eingesetzt, am einfachsten vllt. das kleinstmögliche n = 1 und hast gesehen, dass rechts 0 rauskommt, obwohl links x - y steht?

Falsch geraten. Deine Summenformel ist die Aufgabe! Bloß ein bisschen eleganter geschrieben.

Wäre die Aufgabe, die Summenformel zu beweisen, müsste man hier mMn mit vollständiger Induktion rangehen.

Übertrieben. Auch wenn ich ursprünglich selber VI empfohlen hatte, das war bevor ich die Formel genau angesehen habe. Wie Bashar, Jester und ich oben beschreiben, ist einfaches Ausmultiplizieren angesagt.

SeppJ schrieb:

Falsch geraten. Deine Summenformel ist die Aufgabe! Bloß ein bisschen eleganter geschrieben.

Falsch geraten :p *fg*. Die Aufgabe, die Polynomdarstellung
$x^{k}-y^{k} = (x-y)q_{k}(x) \ mit \ q_{k}(x)=(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+xy^{k-2}+y^{k-1} )$

zu verstehen, hatte ich mir selbst gestellt und erst mit der Summenformel war sie für mich verständlich. Diese Polynomdarstellung wird im Skript benutzt, um
$lim_{x \to a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$

zu berechnen.

Wäre die Aufgabe, die Summenformel zu beweisen, müsste man hier mMn mit vollständiger Induktion rangehen.

Übertrieben. Auch wenn ich ursprünglich selber VI empfohlen hatte, das war bevor ich die Formel genau angesehen habe. Wie Bashar, Jester und ich oben beschreiben, ist einfaches Ausmultiplizieren angesagt.

Das verstehe ich nicht. Wenn ich die Summenformel für alle n aus der Menge der natürlichen Zahlen beweisen wollte, wäre das nicht ein bisschen viel Multipliziererei?
Da ist doch eher VI angesagt?

SeppJ

mathematikpraktikant schrieb:

Die Aufgabe, die Polynomdarstellung
$x^{k}-y^{k} = (x-y)q_{k}(x) \ mit \ q_{k}(x)=(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+xy^{k-2}+y^{k-1} )$

zu verstehen, hatte ich mir selbst gestellt und erst mit der Summenformel war sie für mich verständlich.

Die Summenformel ist die Polynomdarstellung!

Das ist bloß ein Unterschied in der Schreibweise, wie
a\_1 + a\_2 + \dots + a\_N = \sum\_{i=1}^N a_i

Wäre die Aufgabe, die Summenformel zu beweisen, müsste man hier mMn mit vollständiger Induktion rangehen.

Übertrieben. Auch wenn ich ursprünglich selber VI empfohlen hatte, das war bevor ich die Formel genau angesehen habe. Wie Bashar, Jester und ich oben beschreiben, ist einfaches Ausmultiplizieren angesagt.

Das verstehe ich nicht. Wenn ich die Summenformel für alle n aus der Menge der natürlichen Zahlen beweisen wollte, wäre das nicht ein bisschen viel Multipliziererei?
Da ist doch eher VI angesagt?

Probier's doch einfach mal aus. Wenn dir drei Leute sagen, dass es viel einfacher geht, dann ist da vielleicht was dran.

SeppJ schrieb:

Die Summenformel ist die Polynomdarstellung!

Das ist mir völlig klar, irgendwie reden wir aneinander vorbei.
Erst mit der Summenformel wusste ich aber, wie die Polynomdarstellung zu verstehen ist.

SeppJ schrieb:

Probier's doch einfach mal aus. Wenn dir drei Leute sagen, dass es viel einfacher geht, dann ist da vielleicht was dran.

Sehr wahrscheinlich, ja.

volkard

Denke, weder vollständige Induktion noch unglaublich viel Multipliziererei ist hier nötig.

(x-y)Σ... = xΣ... - y*Σ...
Soweit klar, nämlich x und y in die Summe reinmultiplizieren. Ich finde, sie haben danach gebettelt.
Und dann die vordere Summe spalten von vorher "summe von 1 bis n" in nachher "summe von 1 bis 1 PLUS summe von 2 bis n". Sie Summe von 1 bis 1 ist gerade das xⁿ, was im Ergenis auftauchen soll. Die hintere Summe auch geeignet spalten.
Bei den mittleren beiden SUmmen noch feststellen, daß sie gleich sind. Durch Substitution der Laufvariablen, so daß beide von 1 bis n-1 laufen.
Viel Spaß.

edit: Hab keine Ahnung, ob es viel eleganter geht, wir hatten nie besonders mit dem Summenzeichen rumgerechnet, außer mal im ersten Semester vollständige Induktion üben. Kann sein, daß es da einfache Operationen gibt, die ich nicht kenne.

Es geht mit Ausmultiplizieren, wenn man Pünktchen setzt + ... + und - ... -
um ein beliebiges n anzudeuten.

(x-y)\sum_{i=1}^{n}^{x^{n-i}y^{i-1}}= \\ (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1}) \\ = x^{n}+x^{n-1}y+...+xy^{n-1}-x^{n-1}y-...-xy^{n-1}-y^{n} \\ = x^{n}-y^{n}

Ich musste mir aber die Summenglieder vorher bis n = 5 aufschreiben und mit (x-y) multiplizieren,
bis ich ein Gesetz in der Exponentenbildung erkannt habe.
Oben, das ist dann quasi der Extrakt davon.

mathematikpraktikant schrieb:

Es geht mit Ausmultiplizieren,

ha!
na alsoo!
aber erst rumzicken!