Jordan-Norfmalform

[gerf]

Ich habe einen nilpotenten Endomorphismus der Dimension 9 gegeben mit einer darstellenden Matrix A in der Jordan-NF. Diese besteht aus Blöcken der Größen 3, 4 und zwei Blöcke der Größe 1.

Nun soll ich die Dimension des Kernes für A^j , j in {1, 2, 3 ,... , 9}
angeben sowie die Matrix A selbst.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie man an diese Aufgabe herangehen muss.

Ich weiß, wie Jordanblöcke aufgebaut sind und dass sie zB die Eigenwerte auf ihrer Diagonalen haben. Ich kann dadurch, dass ich die Blockgrößen kenne, auch Rückschlüsse auf das charakteristische Polynom ziehen.

DIes müsste etwa

$\chi(A) = (\lambda - \lambda\_1)^4 \cdot (\lambda - \lambda\_2)^3 \cdot (\lambda - \lambda\_3) \cdot (\lambda - \lambda\_4)$

Die Eigenwerte kenne ich jedoch nicht.

Das einzige was ich mit Sicherheit weiß, ist dass die Dimension von ker(A^9) = 9
ist, wegen Hamilton-Cayley und dass die Kerne für ansteigende j sich stets beinhalten.

Kurzum:
Ich bräuchte ein paar Tipps, wie man diese Aufgabe lösen kann und eventuell Hinweise auf die mir fehlende Theorie.

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Tipp: Nilpotent. Das sagt einiges über die Eigenwerte. Wenn man hier weiterdenkt, ist die Aufgabe schon gelöst.
(Ich interpretiere, dass du nicht die fertige Lösung möchtest.)

[gerf]

Die fertige Lösung bringt mich auf jeden Fall weiter, aber ich versuche im Moment noch so viel wie möglich zu verstehen. Leider habe ich etwa 3 Wochen Stoff aufgrund von Krankheit verpasst und hinke ein wenig hinterher.

Ok nun zum Tipp Nilpotent:

- Ich weiß es existiert ein m mit A^m = 0
- 0 ist kein Eigenwert der Matrix, da sonst die gesamte Matrix die Nullmatrix sein müsste

Nun kommt die erste Frage zum Begriff Jordanblock:

Heißt es dass es 4 Jordanblöcke gibt, dass es sich um 4 verschiedene Eigenwerte handelt?
Wenn ich das Beispiel auf Wikipedia ansehe, widerspricht das irgendwie dem, wie ich Jordanblock verstanden habe. Ich dachte ein Jordanblock gehört zu einem Eigenwert ...

Aber wenn ich jetzt die Aufgabe betrachte, heißt es dass es zwei Blöcke der Größe 1 gibt. Wenn die unterschiedliche Eigenwerte hätten, dann könnte die Matrix ja nicht mehr nilpotent sein...

Ich glaube ich brauche ein bisschen mehr Hilfe .. leider

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Ok, wenn du den Stoff verpasst hast, hole ich ein bisschen weiter aus. Zunächst zu den EW.
Def. EW: a ist EW von f: V -> V, wenn es ein v in V gibt mit: v != 0 und A*v = a*v. Dabei sei A die Darstellungsmatrix von f unter einer Basis von V.

Sei nun a EW von deiner nilpotenten Abbildung, dann gilt für ein v != 0:
A*v = a * v. ==> (A^9)*v = A^8(A*v) = A^8*(a*v) = ... = a^9 * v. Und wegen A^9 = 0 (nilpotent, Cayley-Hamilton) gilt: (A^9)*v = a^9 * v = 0. Es folgt wegen v != 0: a^9 = 0. Nullteilerfreiheit von Körper ==> a = 0.

Es folgt, dass {0} die Menge der Eigenwerte von A ist. Nur, weil 0 EW ist, muss A noch lange nicht die Nullmatrix sein!

Jordanblöcke: 4 Jordanblöcke heißt nicht, dass es vier verschiedene Eigenwerte gibt. Die Anzahl der Jordanblöcke gibt aber die Anzahl der nicht notwendigerweise verschiedenen Eigenwerte an, erkennbar am Eintrag oben links, über dem keine 1 steht. Anzahl und Größen der Blöcke zum EW a ergeben sich aus den Dimensionen der Kerne von (A - a*I)^n (I: Einheitsmatrix, n = 1,...,algebraische Vielfachheit des EW). Die Größen sagen auch etwas über das Minimalpolynom aus.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht ganz, mit wie viel Text ich dir helfen kann. Auch bin ich leider nicht in der Lage, die Sachen hier grafisch schön darzustellen und kann deswegen keine Matrixbeispiele geben. Hinzu kommt, dass ich kein LinAlg-Buch nacherzählen möchte. Am besten, du stellst noch spezifische Fragen, meinetwegen auch zu Beispielmatrizen im Internet.

[gerf]

Vielen Dank erstmal. Ich bin tatsächlich ein wenig durcheinander gekommen.

Die Nullmatrix wäre es, wenn die Matrix diagonalisierbar wäre.
Also hat die nilpotente Matrix nur den Eigenwert 0.
Denmach komme ich zu dem Ergebnis, dass die Matrix so aussehen müsste:

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Block der Größe 4 links oben

0 1 0
0 0 1
0 0 0
Block der Größe 3 rechts darunter

und 2 mal

0

Das ganze noch zur Matrix zusammensetzen.

Die Dimension des Kernes für A ist auf jeden Fall schonmal 4, weil ich 4 Nullzeilen habe. Den Rest sollte ich dann per Nachrechnen rausbekommen, oder?

Ich hoffe dass ich jetzt keinen Denkfehler habe

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Müsste passen.
Ich empfehle dann, die Potenzen von A zu berechnen (musst du für die Kerne mehr oder weniger ohnehin) und zu beobachten, wie die 1-Einträge auf der Nebendiagonalen nach oben wandern und schließlich verschwinden. Damit kann man dann den Zusammenhang zwischen den Blöcken und dem Minimalpolynom erkennen.