Zufall und Wahrscheinlichkeiten
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Angenommen man hat ein perfektes "random oracle", welches einem Zufallszahlen zwischen 0 und x gibt. Jetzt zieht man z Zufallszahlen, und schreibt sich jeweils auf welche gezogen wurde. Am Ende hat man also eine Liste mit x+1 Einträgen, in der verzeichnet wurde, wie oft jede Zahl vorgekommen ist. Gibt es eine Möglichkeit für endliche z die erwartete Standardabweichung für diese Zahlen auszurechnen? (Für z->inf ist die natürlich 0, weil man da erwarten würde, dass jede Zahl gleich oft vor kommt. Ich denke aber nicht, dass das auch für endliche z gilt, weil man ja den Durchschnitt der Standardabweichungen errechnet, welche für x > z ja schon mal sicher nicht 0 sein können.)
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cooky451 schrieb:
(Für z->inf ist die natürlich 0, weil man da erwarten würde, dass jede Zahl gleich oft vor kommt.
Bei einer Gleichverteilung wäre die Abweichung nicht null.
http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung
-> Diskrete Gleichverteilung, Würfel
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qweasdyxc schrieb:
Bei einer Gleichverteilung wäre die Abweichung nicht null.
Doch, wäre sie. Die Standardabweichung z.B. von {5, 5, 5, 5} ist null, logischerweise. Was du meinst, ist die Standardabweichung der Zahlen selbst, die Frage danach kann mir Wolframalpha allerdings problemlos beantworten. Ich will aber die zu erwartende Standardabweichung der "Frequenzen" der Zahlen wissen. (Daher die lange Erklärung oben.)
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cooky451 schrieb:
Für z->inf ist die natürlich 0, weil man da erwarten würde, dass jede Zahl gleich oft vor kommt.
Das möchte ich mal anzweifeln. Die relative Abweichung geht gegen 0, aber die absoluten Schwankungen werden immer größer.
Jede einzelne Zahl sollte doch binomialverteilt sein, mit einem p von 1/(Anzahl der Möglichkeiten) und N=(Anzahl der Versuche). Man hat also (Anzahl der Möglichkeiten) Zahlen, die binomialverteilt um den Mittelwert sind. Und deren erwartete Standardabweichung sollte dann doch gerade die Standardabweichung der Binomialverteilung sein, denn wir haben hier doch quasi eine Ziehung von (Anzahl der Möglichkeiten) Werten aus eben dieser Verteilung.
Oder übersehe ich gerade irgendetwas dummes? Diese Überlegung kommt mir sehr einfach vor, da wärst du doch sicher auch drauf gekommen, wie ich dich kenne.
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http://roeglin.org/teaching/WS2011/RandomisierteAlgorithmen/RandomisierteAlgorithmen.pdf Kapitel 3.2.1.
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Nach etwas Rechnerei kann ich SeppJ's Vermutung bestätigen, zumindest für die Varianz:
Die erwartete sample-Varianz der Häufigkeiten ist gerade die Varianz einer Häufigkeit.
(siehe http://postimg.org/image/r1db93n59/, X_i: Häufigkeiten, k: Anzahl Möglichkeiten, N: Anzahl Versuche)Allerdings ist mir nicht klar, warum das so sein muss.
@SeppJ:
Kannst du dein "quasi eine Ziehung von (Anzahl der Möglichkeiten) Werten aus eben dieser Verteilung" genauer erklären?
Immerhin sind diese "Ziehungen" korreliert, da ja insgesamt N rauskommen muss.
Das hebt sich aber (zufälligerweise?) gerade wieder damit auf, dass man bei der sample-Varianz den sample-Erwartungswert statt den tatsächlichen nimmt.
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C14 schrieb:
@SeppJ:
Immerhin sind diese "Ziehungen" korreliert, da ja insgesamt N rauskommen muss.Stimmt das habe ich gar nicht bedacht. Das ist ein Fehler in meiner Vermutung.
