Basiswechsel Lineare Abbildung

Ich habe meiner Meinung nach noch nicht ganz verstanden, wie Basiswechsel funktionieren und habe mir deshalb ein Beispiel ausgedacht, welches ich gerne korrigiert oder bestätigt hätte.

Sei durch

$b\_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ und } b\_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

eine Basis B des $\mathbb{R}^2$ gegeben.

Nun sei ein Endomorphismus f gegeben durch
$f(b_1) = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ und
$f(b_2) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Meine Aufgabenstellung:
Wie lautet die darstellende Matrix von f für die kanonische Basis E $= \{e\_1, e\_2\}$ des $\mathbb{R}^2$ ?

Mein Ansatz:

Ich versuche zunächst die darstellende Matrix A für die Basis B zu bestimmen.
Dazu löse ich das Gleichungssystem:

$A \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

.

Ich erhalte:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}$

Als nächstes versuche ich, eine Übergangsmatrix von B nach E zu finden. Diese sollte ich ja einfach abschreiben können.
$M_B^E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$

Die Matrix von E zurück nach B ist meines Wissens nach ja einfach die Inverse:
$M_E^B = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$

Die nun gesuchte darstellende Matrix von f für E sollte nun ja sein:
$M\_B^E \cdot A \cdot M\_E^B = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 16 & 10 \\ 2 & 8\end{pmatrix}$

Ist das soweit korrekt?
Und wie kann ich das geometrisch interpretieren?

defaultplayer**

Das Ziel ist ja, die Bilder als Linearkombination der Basisvektoren zu schreiben und die Koeffizienten kommen in die Spalten der Matrix. Macht man das so, dann findet man heraus, dass A gerade transponiert sein sollte. Schreibt man die Gleichungen, die gelten sollen, aus, dann sieht man auch, dass du die Faktoren auf der linken Seite des Gleichungssystems vertauscht hast.
Die restlichen Ansätze scheinen korrekt zu sein.

Vielen Dank für die Antwort.

Leider kann ich nicht ganz sehen, an welcher Stelle ich genau etwas vertauscht habe.

Aufgefallen ist mir , dass -meiner Meinung nach- die letzte Gleichung nicht stimmt es müsste

$M\_E^B \cdot A \cdot M\_B^E$ sein denke ich und damit dann

$\begin{pmatrix} 2& \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Matrix A dürfte stimmen,wenn ich mich nicht täusche.
Aber ich nehme gerne jede Verbesserung an.

defaultplayer**

Leider kann ich nicht ganz sehen, an welcher Stelle ich genau etwas vertauscht habe.

Wie bist du denn auf die Gleichung gekommen?

Basiswechselformel: Ich bin weiterhin für die in deinem ersten Beitrag. Was heißt "A dürfte stimmen"? Bezüglich welcher Basis? Für mich ist A die Darstellungsmatrix von f unter der Basis B. Da frage ich mich, wieso du hierfür einen Basiswechsel brauchst, obwohl du doch A zuerst für diese Basis aufstellen wolltest.

Es wäre vlt ganz nett, wenn die betreffende Stelle mal zitiert wird.

Ich weiß nicht was mit "der Gleichung" genau gemeint ist.

A soll tatsächlich die darstellende Matrix von f unter B sein.

Da bedeutet für mich:

f( 2,1) = (4,2) // Spaltenvektoren

Wenn f eine Matrix ist, dann gilt A*(2,1)^T = (4,2)^T
also 2*a11 + a12 = 4 und 2*a21 + a22 = 2

Analog

a11 - a12 = 2
a21 - a22 = 0

-> die von mir beschriebene Matrix A

Vlt hab ich an der STelle einen Hänger:

wenn ich mir Bilder von den Basisvektoren vorgebe und damit eine darstellende matrix erstelle,

ist die dann schon bezüglich der kanonischen Basis?

otze

Ja. du hast b1 und 2b bezüglich der kanonischen Basis gegeben und dein Bilder sind wohl auch in der kanonischen Basis. Also ist A bereits die gesuchte Matrix.

defaultplayer**

Entschuldige, ich bin wohl auch ein bisschen durcheinander gekommen.

A soll tatsächlich die darstellende Matrix von f unter B sein.

Da bedeutet für mich:

f( 2,1) = (4,2) // Spaltenvektoren

Wenn f eine Matrix ist, dann gilt A*(2,1)^T = (4,2)^T
also 2*a11 + a12 = 4 und 2*a21 + a22 = 2

Analog

a11 - a12 = 2
a21 - a22 = 0

-> die von mir beschriebene Matrix A

Dieser Ansatz liefert, wie otze bereits schrieb, die Darstellungsmatrix von f unter der Standardbasis. Man erhält A = [2 0; 2/3 2/3] (in Matlab-Notation), also das, was du bereits in deinem ersten Beitrag als Zwischenergebnis erhalten hast. Allerdings war das ja bereits das Ziel, folglich braucht man keinen Basiswechsel mehr.
Falls du jedoch eine Matrix bezüglich B hättest, wäre die richtige Basiswechselformel, um sie bezüglich E zu erhalten, die aus deinem ersten Beitrag. Umgekehrt hat f bezüglich B die Matrix inv(B)*A*B, wobei B = [2 1; 1 -1], was in diesem Fall gerade A^T ist.