4. Wurzelterme vereinfachen

Wurzelterme vereinfachen

  • ?

    Versuche mal den ersten Term umzuwandeln. Statt

    (x3)3\sqrt{(\frac{x}{3})^3}

    kannst du ja auch folgendes:

    x2⋅x32⋅3\sqrt{\frac{x^2\cdot x }{3^2\cdot 3}}

    oder:
    (x3)2⋅(x3)\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}

    schreiben. Und jetzt mal weitermachen.

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  • B

    Falls x≥0x\geq 0:
    x=x22=(x2)12x = x^{\frac22} = (x^2)^{\frac12}
    zusammenfassen ➡ x(x3)12=(x2⋅x3)12x\left ( \frac{x}3 \right )^{\frac12} = \left ( x^2 \cdot \frac{x}3 \right )^\frac12

    x<0x<0 zur Übung ...

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  • I

    Sorry, ich versteh immer noch gar nichts 😞

    Bei

    KasF schrieb:

    (x3)2⋅(x3)\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}

    würde ich die Wurzel ziehen, dann in Potenzform schreiben, und miteinander multiplizieren und es wäre wieder

    x332\frac{x}{3}^\frac{3}{2} da..

    Und bei

    Bashar schrieb:

    (x2⋅x3)12\left ( x^2 \cdot \frac{x}3 \right )^\frac12

    kann man doch gar nichts mehr machen oder?
    Ich komm einfach nicht auf 23xx3\frac{2}{3}x\sqrt{\frac{x}{3}}

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  • ?

    Ziehe bitte mal die Wurzel und schreib es auf, ohne die Wurzel in Potenzform zu bringen. Da haste du dann nämlich -1/3 Birnen + 1 Birne. Siehst du es schon?:-)

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  • I

    Ich habe keine Ahnung was du meinst. Welche Wurzel ziehen und wo kommt dann -1/3 raus? 😕

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  • B

    Incocnito schrieb:

    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})

    =−(x3)2(x3)+x(x3)= -\sqrt{(\frac{x}{3})^2 (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =−(x3)(x3)+x(x3)= -(\frac{x}{3})\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =(−(x3)+x)(x3)= (-(\frac{x}{3})+x)\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =23x(x3)= \frac{2}{3}x \sqrt{(\frac{x}{3})}

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  • ?

    Also,

    -\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\sqrt{(\frac{x}{3})^2}\cdot\sqrt{(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\frac{x}{3}\cdot\sqrt{(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\

    Jetzt marginal verschönern:

    −13x(x3)+33x(x3)-\frac{1}{3}x\sqrt{(\frac{x}{3})}+\frac{3}{3}x\sqrt(\frac{x}{3})

    Da sind jetzt deine "Da haste du dann nämlich -1/3 Birnen + 1 Birne".

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  • K

    Incocnito schrieb:

    Ich habe keine Ahnung was du meinst.

    Ist dir folgendes klar?

    (x3)3=(x3)2⋅(x3)=(x3)2⋅(x3)\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^3} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{x}{3}\right)} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)}

    Letztere Schritt nutzt im Wesentlichen das Potenzgesetz

    (a⋅b)c=ac⋅bc\left(a \cdot b \right)^c = a^c \cdot b^c

    mit c=1/2 aus. Und

    (x3)2=∣x∣3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \frac{\left|x\right|}{3}

    sollte auch klar sein. Damit gilt dann

    (x3)3=∣x∣3⋅x3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^3} = \frac{\left|x\right|}{3} \cdot \sqrt{\frac{x}{3}}

    Wenn man sich dann die rechte Wurzel anguckt, ist auch klar, dass x nicht negativ sein kann. Deswegen sind die Betragsstriche eher überflüssig. Komplexe Zahlen habe ich hier ignoriert.

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  • ?

    −(x3)3+xx3-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt{\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x2⋅x3=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x2⋅x3=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{x^2\cdot\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x33=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{\frac{x^3}{3}}
    =−(x3)3+9x327=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{\frac{9x^3}{27}}
    =−(x327)+(9x327)=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+\sqrt(\frac{9x^3}{27})
    =−(x327)+9⋅x327=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =−(x327)+3x327=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+3\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =2x327=2\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =4⋅x327=\sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =4⋅x327=\sqrt{4\cdot\frac{x^3}{27}}
    =4x327=\sqrt{\frac{4x^3}{27}}

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  • I

    Danke Leute, jetzt hab ich's auch gecheckt. 🙂

    @Bashar:
    Ich hab nicht wirklich verstanden, was du von Zeile 2 zu 3 gemacht hast. Kannst du das nochmal bitte erläutern?

    @Klugscheißer:
    Wie bist du auf 9x327\sqrt{\frac{9x^3}{27}} gekommen?

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  • ?

    Zähler und Nenner mit 9 multiplizieren

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  • B

    Incocnito schrieb:

    @Bashar:
    Ich hab nicht wirklich verstanden, was du von Zeile 2 zu 3 gemacht hast. Kannst du das nochmal bitte erläutern?

    Gerne.

    Incocnito schrieb:

    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})

    { Anwendung des Potenzgesetzes an+m=anama^{n+m} = a^n a^m für a=x/3,n=2,m=1a = x/3, n = 2, m = 1 }
    =−(x3)2(x3)+x(x3)= -\sqrt{(\frac{x}{3})^2 (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Potenzgesetzes (ab)r=arbr(ab)^r = a^r b^r für a=(x/3)2,b=x/3,r=1/2a=(x/3)^2, b=x/3, r=1/2, unter Berücksichtigung von a=a12\sqrt{a} = a^{\frac12} }
    =−((x3)2)12(x3)+x(x3)= -((\frac{x}{3})^2)^{\frac12}\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Potenzgesetzes (ar)s=ars(a^r)^s = a^{rs} für a=x/3,r=2,s=1/2a=x/3,r=2, s=1/2 }
    =−(x3)(x3)+x(x3)= -(\frac{x}{3})\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Distributivgesetzes (aka Ausklammern) }
    =(−(x3)+x)(x3)= (-(\frac{x}{3})+x)\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Nochmal Distributivgesetz }
    =23x(x3)= \frac{2}{3}x \sqrt{(\frac{x}{3})}

    Einige von den Potenzgesetzen gelten nur für a>=0, aber das ist hier gegeben, weil sonst die Wurzel im Ausgangsterm nicht definiert wäre.

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  • S

    Ich bin nach etwas herumgerechne auf
    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})
    =−x1,531,5+x1,530,5= -\frac{x^{1,5}}{3^{1,5}} + \frac{x^{1,5}}{3^{0,5}}
    =x1,5∗330,5∗3−x1,531,5= \frac{x^{1,5} * 3}{3^{0,5} * 3} - \frac{x^{1,5}}{3^{1,5}}
    =3x1,5−x1,531,5= \frac{3x^{1,5} - x^{1,5}}{3^{1,5}}
    =2(x3)1,5= 2 (\frac{x}{3})^{1,5}

    Findet den Fehler, dürfte nicht allzu schwer sein. Ich verrechne mich dauernd.

    Edit: Stop, das ist richtig... ist dieselbe Lösung wie von Klugscheißer 🤡 :duck-und-weg:

    Es gilt ja 27=33=31,5\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{1,5}
    und
    4x3=2∗x3=2∗x1,5\sqrt{4x^3} = 2 * \sqrt{x^3} = 2 * x^{1,5}

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