4. Reihe - Wert bestimmmen

Reihe - Wert bestimmmen

  • ?

    Wie bestimmt man den Wert einer solchen Reihe wie:

    ∑k=0∞k+25k\displaystyle\sum_{k=0}^\infty { \dfrac{k+2}{5^k}}

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  • O

    rstmal in 2 Teile teilen, die summe über 2/5^k sollte klar sein. ich nenne den grenzwert über 1/5^k mal c

    der linke Term ist etwas schwieriger. aber hier würde ich als Ansatz nehmen:

    \sum\_k \frac k {5^k} = \sum\_k \frac 1 {5^k} + \frac 1 5 \sum\_k \frac 1 {5^k}+ \frac 1 {5^2} \sum\_k \frac 1 {5^k}+\dots = c \cdot(1+ \frac 1 5 + \frac 1 {5^2}+\dots)= c \cdot(\sum_k \frac 1 {5^k})= c^2
    bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich die Schritte machen darf. Ich benutze hier ziemlich oft das distributivgesetz.

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  • ?

    Nach der otzeschen Regel erstmal in zwei Summen aufspalten:

    ∑k=0∞k5k+∑k=0∞25k\displaystyle\sum_{k=0}^\infty { \dfrac{k}{5^k}} + \displaystyle\sum_{k=0}^\infty { \dfrac{2}{5^k}}

    Die rechte Seite einfach wie gehabt (2 rausholen und geometrische Reihe sehen). Für die linke Seite:

    ∑k=0∞k15k=∑k=0∞k(15)k=∑k=0∞kqk\displaystyle\sum_{k=0}^\infty { k\dfrac{1}{5^k}} = \sum_{k=0}^\infty { k{(\dfrac{1}{5})}^k} = \sum_{k=0}^\infty { k{q}^k}

    Für den letzten Term nimmst du dann http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Varianten

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  • O

    Ich gehe mal davon aus, dass er das selber lösen sollte, deswegen wird ihm die Wikipedialösung nicht so viel helfen. insbesondere weil der d/dq formalismus dann doch nicht klar ist.

    Ich war gestenr müde, und habe gesehen, dass der erste Term ja mit k = 0 multipliziert wird. wenn man also den ersten Term weg streicht und den hinteren Teil anpasst zu

    c⋅(15+152+...)=c5⋅(1+15+152+...)=c25c \cdot (\frac 1 5 + \frac 1 {5^2}+...)= \frac c 5 \cdot (1 + \frac 1 5 + \frac 1 {5^2}+...)=\frac {c^2} 5
    dann stimmt meine Lösung mit Wikipedia überein.

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  • ?

    otze schrieb:

    Ich gehe mal davon aus, dass er das selber lösen sollte, deswegen wird ihm die Wikipedialösung nicht so viel helfen.

    Wo ist der Unterschied zu dem was du getan hast? Ich habe ihm nur gezeigt, dass

    kqk=qddqqkkq^k = q\dfrac{d}{dq}q^k
    ist. Ist ja keine Formalisimus Hexenwerk. Du hast ihm ein Trick gezeigt, ich hab ihm ein Trick gezeigt. Vielleicht wollte er ja nur eine Lösungsformel haben. Aber ist doch egal 🙂

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  • W

    Sei

    A=∑k=0∞kqk,B=∑k=0∞qk,∣q∣≤1\displaystyle A = \sum_{k=0}^\infty kq^k, B = \sum_{k=0}^\infty q^k, |q| \le 1

    .

    Dann gilt:

    \begin{align} \displaystyle B &= 1 + qB \\ (1-q)B &= 1 \\ B &= \dfrac{1}{1-q} \end{align}

    und

    \begin{align} \displaystyle A &= q (A + 😎 \\ A &= q (A + \dfrac{1}{1-q}) \\ (1-q)A &= \dfrac{q}{1-q} \\ A &= \dfrac{q}{(1-q)^2} \end{align}
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