Quotientenraum AUfgabe

Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe, die mir eigentlich absolut klar ist, die ich aber formal nicht beweisen kann:

Seien V ein Vektorraum und U ⊂ V ein Untervektorraum; seien π : V → V /U
der kanonische Epimorphismus und U2 ⊂ V ein Untervektorraum, sodass die
Einschränkung π|U2 : U2 → V /U ein Isomorphismus ist.
Zeigen Sie, dass U2 ein Komplement von U in V ist.

So ganz aus dem Bauch heraus hätte ich argumentiert:

π|U2 ist injektiv, also werden keine 2 Elemente von U2 auf das selbe Element von V/U abgebildet.
Das würde genau dann geschehen, wenn sich 2 Elemente aus U2, sagen wir v1 und v2 nur um U unterscheiden, also v1= v2 + U gilt.
Da dies nicht vorkommen darf, ist U nicht in U2 enthalten. Also U ∩ U2 = {0} (da beides Untervektorräume)

Nun würde ich noch zeigen, dass U + U2 = V gilt.
Da π|U2 isomorph, gilt dim(U2) = dim (V/U)

Und im(π) + ker(π) = dim V gilt für den kanonischen Epimorphismus.
ker(π) besteht aber gerade aus U und damit ist dim( ker(π) ) = dim(U)
und dim ( im(π) ) = dim (V/U) = dim(U2)

Wegen dim(U2) = dim( im(π)) und
U2 ∩ ker(π) = {0}
folgt meiner Meinung nach dass U2 ein Komplement von U wäre.

und wo ist jetzt dein Problem?

Bashar

Zuerst hast du gezeigt, dass $U \cap U_2 = \{ 0 \}$ ist. OK, aber was hält dich davon ab, das formal zu machen? "Sei $x\in U\cap U_2$ ..., " und schauen was passiert.

Im zweiten Schritt rechnest du mit Dimensionen, aber das geht nur, wenn V endlich-dimensional ist, was hier nicht gegeben ist. Vielleicht ein Tipp: Was ist $\pi^{-1}(\pi(x))$ für $x\in V$ ?