Grenzvariable im Integral

Eisflamme

Hi,

ich finde über Google nichts dazu, vielleicht suche ich falsch. Und ich komme leider mit meinen Kenntnissen nicht weiter.

Kann man aus $\int_x^\infty{xf(x)dx}$ ein analytisches Ergebnis ermitteln? Geht's, wenn man $\infty$ durch einen Wert a ersetzt? Mir reicht auch ein Begriff für eine Regel, ein Verfahren oder eine Erklärung, wonach ich suchen kann.

Dankeschön!

Klar.

Wähle z.B. $f(x) = x^{-3}$
Dann gilt:
$\int\_x^\infty dx xf(x) = \int\_x^\infty dx \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x}$

Eisflamme

Hm, okay, aber wenn f(x) nicht bekannt ist, lässt sich keine andere Schreibweise einführen?

Und die zweite Frage wäre dann, was passiert, wenn f(x) die Dichtefunktion der Normalverteilung ist?

knivil

ein analytisches Ergebnis ermitteln?

Nicht im Allgemeinen. Integrieren ist nicht Differenzieren. Gluecklicherweise kann in den moisten Faellen beliebig genau approximiert werden.

durch einen Wert a ersetzt?

Nein.

$\int_x^\infty{xf(x)dx}$

Normalerweise ist sind Grenze und Integrationsvariable unterschiedliche Konzepte und erhalten auch unterschiedliche Variablennamen.

Dann gilt:

Ach, wirklich? Was passiert, wenn deine Grenze negative ist ...

Eisflamme schrieb:

Kann man aus $\int_x^\infty{xf(x)dx}$ ein analytisches Ergebnis ermitteln? Geht's, wenn man $\infty$ durch einen Wert a ersetzt? Mir reicht auch ein Begriff für eine Regel, ein Verfahren oder eine Erklärung, wonach ich suchen kann.

Der Ausdruck ergibt keinen Sinn. Die Integrationsvariable darf nur im Integranden, nicht aber als Grenze auftauchen. Vermute aber, das war nur ein Tippfehler und weiß nicht genau auf was Deine Frage abziehlt. ∞ durch a zu ersetzen und den Grenzübergang a→∞ zu bilden ist der übliche Weg. Einen allgemeinen analytischen Ausdruck der Stammfunktion von x*f(x) wirst Du aber wohl nicht finden.

Eisflamme

Ach mist, die Grenzen habe ich falsch benannt. Ich meinte zwar wirklich, dass die Grenzvariable im Integral ist, das ist jedoch gar nicht bei mir der Fall.

Wenn es keine allgemeine Lösung für eine Stammfunktion von x*f(x) gibt, dann hat ist die Information aber ohnehin schon super für mich, danke euch allen.

Gluecklicherweise kann in den moisten Faellen beliebig genau approximiert werden.

Ja, das wird hier auch gehen, stimmt. Dankesehr

knivil

Ich werfe einfach mal Taylorentwicklung von x*f(x) ein.

muhhahaah.kakkkkk..!:!:!:!11

otze

Eisflamme schrieb:

Wenn es keine allgemeine Lösung für eine Stammfunktion von x*f(x) gibt, dann hat ist die Information aber ohnehin schon super für mich, danke euch allen.

Das Beste woran du kommst ist die Formel für partielle Integration. Aber die führt dich nicht zwingend zum Ziel bei unbekanntem f(x). Integrieren ist schwer und es gibt fast kein allgemeingültigen Regeln - es muss nichtmal ein analytisches Ergebnis geben.