Rotations Matrix um einen Fixpunkt

kurze_frage

Hallo

mir ist klar das ich bei einer Rotation um einen Punkt zuerst den zu rotierenden Punkt verschieben, dann rotieren, und dann zurück verschieben kann.

jetzt hab ich hier ein Buch und da steht

wird der Punkt (2,1) um den Fixpunkt (1.5,1.5) 180 Grad rotiert , so ergibt sich

-1  0   3     2
 0 -1   3  X  1
 0  0   1     1

mir ist jetzt nicht klar wieso sich die 3 ergeben, ist das 2 mal x vom Fixpunkt, x+y vom Fixpunkt oder etwas anderes?

Das Buch schweigt sich dazu leider aus.

philipp2100

Hallo,

nichts dergleichen. Die Koordinaten des zu rotierenden Punktes stecken in der Matrix gar nicht drin, sondern nur die des Fixpunktes. Hier ist nochmal die Formel zur Berechnung dieser Matrix (x₁ und y₁ sind die Koordinaten des Fixpunktes):

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & x_{1} \\ 0 & 1 & y_{1} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{ccc} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) * \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -x_{1} \\ 0 & 1 & -y_{1} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Bekanntlich können die Auswirkungen mehrere Operationen (Rotationen, Skalierungen und bei homogenen Koordinaten, mit denen du rechnest, auch Translationen) in einer Matrix gespeichert sein. Diese Matrizen sind aber im Allgemeinen sehr komplex und die Bedeutung der einzelnen Zahlen für den Normalmenschen nicht mehr durchschaubar, würde ich jetzt behaupten. Es gibt natürlich Spezialfälle, in denen manche Einträge null sind und man daher in gewissem (begrenzten) Maße sehen kann, was die Matrix "macht".

kurze_frage

ok,
dann wende ich die 3x3 Matrix Multiplikation an, so wie hier
http://ncalculators.com/matrix/3x3-matrix-multiplication-calculator.htm
beschrieben
und sollte auf das Ergebnis kommen.

werde ich heute Nachmittag nachvollziehen,

vielen Dank!

philipp2100

Genau, oder wie anschaulich von unserem Mathe-Prof formuliert: Die Spaltenvektoren kippen und hineingießen..
Also für jede Spalte der rechten Matrix den ensprechenden Vektor durch Linksrotation waagrecht machen und mit den Zeilen der linken Matrix verrechnen, indem die Produkte der Komponenten aufaddiert werden. Kleine Merkhilfe ist der einfache Fall einer 1x3- und 3x1-Matrix:

$\left( \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array} \right)* \left( \begin{array}{ccc} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \right) = \left( a_{1} * b_{1} + a_{2} * b_{2} + a_{3} * b_{3} \right)$

Hätte die rechte Matrix jetzt 2 (3, ...) Spalten, würde im Ergebnis noch eine zweite Spalte entstehen mit den entsprechenden b_is. Analog würden noch weitere Spalten mit anderen a_is entstehen, wenn die linke Matrix mehr Zeilen hätte.

philipp2100

Oh, ich sehe gerade, du hattest ja vom Fixpunkt gesprochen, da hab ich wohl etwas zu schnell gelesen...

Hab das mal selbst ausgerechnet, als Ergebnis (Produkt der drei Matrizen oben) ergibt sich:

$\left( \begin{array}{ccc} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & -x_{1}*\cos(\phi)+y_{1}*\sin(\phi)+x_{1} \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & -x_{1}*\sin(\phi)-y_{1}*\cos(\phi)+y_{1} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Also tatsächlich 2*x bzw. 2*y des Fixpunktes, aber nur, weil in diesem Fall der Winkel 180° beträgt.