stetige normalverteilung - berechnen der wahrscheinlichkeit eines intervalls

hi

wenn ich die wahrscheinlichkeit für z.b. P(35 <= X <= 75) berechnen will,
wie mache ich das?
ich dachte zurerst, ich könnte das so schreiben:
P(35 <= X <= 75) = P(X<=75) - P(X<=35)
aber dann würde ich doch den anteil von P(X=35), der ja sowieso für sich allein 0 ist, jedoch nicht 0 ist 'in verbindung' mit einem intervall, subtrahieren?

anderes beispiel, ich möchte P(35 < X < 75) haben.
dann rechne ich doch P(35 < X < 75) = P(X<=75) - P(X<=35)
das kann doch nicht das gleiche sein? oder doch?

volkard

uups.

hallo volkard,
das ist mir klar, aber hier geht es nicht um eine diskrete sondern um eine stetige verteilung.

Bashar

foolie schrieb:

aber dann würde ich doch den anteil von P(X=35), der ja sowieso für sich allein 0 ist, jedoch nicht 0 ist 'in verbindung' mit einem intervall, subtrahieren?

Da ist irgendein Denkfehler drin, ich kann nicht genau sagen, welcher. Kannst du mal erklären, warum du einen Unterschied zwischen P(X=35) alleine und "in Verbindung mit einem Intervall" siehst?

volkard

foolie schrieb:

P(35 <= X <= 75) = P(X<=75) - P(X<=35)
…
P(35 < X < 75) = P(X<=75) - P(X<=35)
das kann doch nicht das gleiche sein? oder doch?

Wenn ich das richtig verstehe, ist es gleich. Die da
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Grundlegende_Fragestellungen
sagen
"Wegen der Stetigkeit der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun < oder <= verlangt ist,"

hallo bashar,
wenn ich P(X=35) allein betrachte, ist P(X=35) = 0.
will ich aber P(X<=35) haben, muss ich die 35 mit berücksichtigen, obwohl P(X=35) null ist. eine vermutlich sehr laienhafte vorstellung

danke für den link volkard.
ich hatte bisher nur diskrete normalverteilung gelernt und da haben wir das immer so gerechnet, wie du vorhin gepostet hast.
das habe ich ja noch nachvollziehen und verstehen können.
seit heute ist stetige verteilung angesagt und nun komme ich mit diesen kleiner,
kleiner gleich grenzen ins schleudern.
laut link ist also tatsächlich P(35 <= X <= 75) = P(35 < X < 75)
das ist ja völlig was anderes als bei der diskreten verteilung!
mir ist noch nicht klar warum, weil die ränder einen beitrag von 0 leisten oder so...

Bashar

foolie schrieb:

hallo bashar,
wenn ich P(X=35) allein betrachte, ist P(X=35) = 0.
will ich aber P(X<=35) haben, muss ich die 35 mit berücksichtigen, obwohl P(X=35) null ist. eine vermutlich sehr laienhafte vorstellung

Ja, aber der Punkt geht mit dem Beitrag Null ein... egal ob er alleine oder mit anderen zusammen kommt.

laut link ist also tatsächlich P(35 <= X <= 75) = P(35 < X < 75)
das ist ja völlig was anderes als bei der diskreten verteilung!
mir ist noch nicht klar warum, weil die ränder einen beitrag von 0 leisten oder so...

Nicht die Ränder. Jeder Punkt.

gut.
aber irgendwie ist da immer noch der wurm drin.
sehr wahrscheinlich nur in meinem kopf
als beispiel nehme ich mal irgendwelche werte, z.b. μ = 260 und σ = 64.
nun interessiere ich mich z.b. für die wahrscheinlichkeiten P(X<=200) und P(X<200).
ich fange mit X<=200 an und gebe die werte in irgend einen rechner ein und bekomme
P(X<=200) = 0,17425.
damit habe ich die fläche unter der gauß'schen glockenkurve im intervall (-∞,200]
jetzt gucke ich mir X<200 an, das müsste das intervall (-∞,200) sein.
die 200 wird nie erreicht. also müsste die fläche ja kleiner sein als in dem rechtsseitig abgeschlossenen intervall.
andererseits könnte man sich fragen, welchen wert X soll ich nehmen, der <200 ist.
nehme ich 199,9 oder 199,999999. so könnte ich weiterspinnen und eine sehr sehr kleine differenz nehmen die gegen 0 geht und würde quasi fast, aber auch nur fast bei 200 landen. der unterschied wäre dann wohl per computer gar nicht mehr berechenbar. das ist doch verrückt ... :p

Bashar

foolie schrieb:

gut.
aber irgendwie ist da immer noch der wurm drin.

An irgendeiner Stelle muss man der Intuition mal kurz eine Pause gönnen und sich die Definitionen angucken. Wie habt ihr stetige Wahrscheinlichkeiten definiert? Schonmal von Nullmengen gehört?

jetzt gucke ich mir X<200 an, das müsste das intervall (-∞,200) sein.
die 200 wird nie erreicht. also müsste die fläche ja kleiner sein als in dem rechtsseitig abgeschlossenen intervall.

Der einzige Punkt, der fehlt, ist 200, und der geht mit dem Beitrag 0 ein. Ich glaube das Beispiel hatten wir mit anderen Zahlen schon ...

andererseits könnte man sich fragen, welchen wert X soll ich nehmen, der <200 ist.
nehme ich 199,9 oder 199,999999. so könnte ich weiterspinnen und eine sehr sehr kleine differenz nehmen die gegen 0 geht und würde quasi fast, aber auch nur fast bei 200 landen.

Ja, offene Intervalle sind schon was tolles.

der unterschied wäre dann wohl per computer gar nicht mehr berechenbar. das ist doch verrückt ... :p

Das bringt glaube ich nicht viel, die Mathematik nur durch die numerische Brille zu sehen. Lass mal die Computer außen vor.

otze

foolie schrieb:

nehme ich 199,9 oder 199,999999. so könnte ich weiterspinnen und eine sehr sehr kleine differenz nehmen die gegen 0 geht und würde quasi fast, aber auch nur fast bei 200 landen. der unterschied wäre dann wohl per computer gar nicht mehr berechenbar. das ist doch verrückt ... :p

Und nun gehe einen Schritt weiter. jedes mal, wenn du eine weitere 9 hinten dran hängst kannst du das Argument wider anwenden um ein weitere 9 anzuhängen. Bei jeder Anwendung verkleinert sich der Untershcied (200-199.999...) um Faktor 10. Da du das beliebig häufig anwendest kannst du nun sagen:

für jeden beliebig kleinen Abstand ε kannst du mit dem Argument ein x=199.9999... konstruieren, sodass (200-x)< ε.
=> In der Grenze von ε → 0 hat x keinen messbaren Abstand von 200 mehr.
=> Es gibt keine Zahl zwischen x und 200(Beweis: gäbe es diese Zahl y, so dass x<y<200 dann gibt es ein ε = y/2 sodass (200-x)> ε. Das kann nicht sein.)
=> x=200.

da lag ich doch mit meiner intuition ganz gut.
okay, die kröte ist geschluckt.
danke für eure hilfe!