Die de Morganschen Regeln beweisen

Hallo.
Wir müssen in Lineare Algebra die Regeln von de Morgan beweisen.
Die Aufgabe lautet:

Sei M eine Menge und seien A und B Teilmengen von M. Dann lauten die Regeln von de Morgan
A\(B⋂C) = (A\B)⋃(A\C)
Dies muss ich jetzt beweisen, einmal formal, und einmal graphisch mittels Venn-Diagrammen.

Dies wäre zuerst mein Ansatz gewesen. Ich habe ihn auf einer anderen Internetseite gefunden und dachte mir zuerst, dass ist richtig.

Also sei x∈A\(B⋃C)

⇔x∈A ∧ x∉(B⋃C)

⇔x∈A ∧ x∉B ∧ x∉C

⇔x∈A ∧ x∉B ∧ x∈A ∧ x∉C

⇔x∈A\B ∧ x∈A\C

⇔x∈(A\B)⋂(A\C)

So jetzt mein Problem:
Es wird keine Aussage getroffen, dass A = B und A = C und B⋃C = M nicht eintreffen darf. Wenn einer dieser Fälle eintretet, dann stimmt mein ganzer Beweis nicht.
Ist mein Beweis jetzt falsch? Oder muss ich alle Fälle, die eintreten können, beweisen?

Schon mal vielen Dank.

Bashar

de Morgan schrieb:

A\(B⋂C) = (A\B)⋃(A\C)
[...]
Also sei x∈A\(B⋃C)
[...] ⇔x∈(A\B)⋂(A\C)

Das ist offensichtlich kein Beweis für die obige Behauptung (aber für eine ganz ähnliche.)

Es wird keine Aussage getroffen, dass A = B und A = C und B⋃C = M nicht eintreffen darf. Wenn einer dieser Fälle eintretet, dann stimmt mein ganzer Beweis nicht.

Wieso nicht? Ich denke doch, dass der dann richtig ist. Die Mengen sind dann leer und die ganzen Implikationen trivial erfüllt, aber das ist ja kein Beinbruch.

Ist mein Beweis jetzt falsch?

Wenn es so wäre, dass ein bestimmter Fall auftreten kann, aber nicht behandelt wird, wäre er falsch bzw. unvollständig. Ich sehe nur nicht, warum das hier der Fall sein sollte.

Hallo Bashar.
Vielen Dank für deine Antwort.

Das ist offensichtlich kein Beweis für die obige Behauptung (aber für eine ganz ähnliche.)

Ohh.. ja stimmt. Aber ich muss eh beide beweisen.

Wieso nicht? Ich denke doch, dass der dann richtig ist. Die Mengen sind dann leer und die ganzen Implikationen trivial erfüllt, aber das ist ja kein Beinbruch.

Ja stimmmt die Mengen sind dann leer, aber warum sind die Implikationen dann erfüllt? Ich gehe ja von einem Element x aus, das in A, aber nicht in B und C enthalten ist. Wenn einer der drei Fälle auftreten kann, dann stimmt meine Annahme über das Element x nicht.

Wenn es so wäre, dass ein bestimmter Fall auftreten kann, aber nicht behandelt wird, wäre er falsch bzw. unvollständig. Ich sehe nur nicht, warum das hier der Fall sein sollte.

Ok, ich würde sagen, er stimmt, aber nur für den Fall, dass A⋃B eine echte Teilmenge von M ist.

Bashar

de Morgan schrieb:

Ja stimmmt die Mengen sind dann leer, aber warum sind die Implikationen dann erfüllt?

Eine Definition der Implikation ist: A → B ist wahr genau dann, wenn A falsch oder B wahr ist. http://de.wikipedia.org/wiki/Implikation#Wahrheitsfunktionale_Implikation

Daraus leitet sich die Äquivalenz ab: A B ist wahr genau dann, wenn A und B beide falsch oder A und B beide wahr sind.

Bedenke, dass dein Aufschrieb auch für x\not\in A\setminus(B\cup C) gilt. Dann besteht die Äquivalenzkette aus lauter falschen Aussagen. In dem Spezialfall $A\setminus(B\cup C) = \emptyset$ ist das halt für jedes x eine Kette von falschen Aussagen.

Ich gehe ja von einem Element x aus, das in A, aber nicht in B und C enthalten ist. Wenn einer der drei Fälle auftreten kann, dann stimmt meine Annahme über das Element x nicht.

Formallogisch gehst du von einem völlig unbestimmten x aus und zeigst, dass $x\in A\setminus(B\cup C)$ äquivalent zu $x\in (A\setminus$ ist.

Danke Bashar, eine sehr gute erklärung

Nur noch eine Frage: Wenn die Immplikationen erfüllt sind, jetzt im speziellen Fall von de Morgan, heißt das auch, dass der Beweis erfüllt ist?

Bashar

de Morgan schrieb:

Nur noch eine Frage: Wenn die Immplikationen erfüllt sind, jetzt im speziellen Fall von de Morgan, heißt das auch, dass der Beweis erfüllt ist?

Ich weiß nicht, ob ich die Frage richtig verstehe. Dass das in deinem Ausgangsposting ein korrekter Beweis ist, hatten wir doch schon geklärt?

Tobiking2

Es wird vielleicht einfacher verständlich wenn man direkt über Mengen redet statt es über boolsche Algebra zu verallgemeinern:

In deinem ersten Post zeigst du das ein beliebiges bzw. alle Elemente aus A\(B⋃C) auch in (A\B)⋂(A\C) liegen. Das ist genau die Definition der Teilmenge.

Zeigst du zusätzlich das (A\B)⋂(A\C) eine Teilmenge von A\(B⋃C) ist, können die Mengen nur noch gleich sein.

Bashar

Hm. Es geht doch direkt um Mengen, und er zeigt beide Richtungen gleichzeitig und damit Gleichheit der Mengen.