Was bedeutet die Z/nZ-Schreibweise
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Woher kommt dieses ? Es ist klar, was es bedeutet, aber was soll die Schreibweise bedeuten? Ein Bruch kann es wohl kaum sein ...
ist verständlich, aber scheinbar weniger gebräuchlich.
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Das folgt durch die Art, wie diese Ringe konstrueirt werden.
R/I ist ein Quotientenring wobei I ein Ideal des Rings R ist. Im Grunde fordert ein Quotientenring eine Abbildung von f:R -> R/I so dass alle Elemente aus I auf die 0 abgebildet werden.
In deinem Fall läuft das wie folgt:
I ist in deinem Fall nZ ={n,2n,3n,...}.Nun lässt sich jede Zahl s aus Z darstellen als s=a+i (wobei a aus Z, a minimal und i aus nZ). In der Faktorgruppe Z/Zn werden nun alle i auf 0 abgebildet und daher gilt Z/nz={0,...,n-1}
Das ist nicht ganz die formalrichtige Definition und Konstruktion, sondern nur das was ich aus Diskrete Mathematik behalten hab und das ist > 3 Jahre her. Wikipedia spuckt dir zum Thema Faktorgruppe aber sicher jede Menge aus.
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Das ist ein Faktorring. Allgemein: Ist R ein Ring und I ein Ideal, dann ist a\sim b :\iff a-b\in I eine Äquivalenzrelation auf R, und man nennt die Menge der Äquivalenzklassen den Faktorring . Hier ist der Ring halt und das Ideal ; die Äquivalenzrelation ist in dem Fall genau die Kongruenz, d.h. a\sim b \iff a\equiv b \pmod{n}.
Falls du gerade mit der Linearen Algebra anfängst, wirst du in ein paar Wochen Faktorräume kennenlernen, das ist das gleiche Prinzip.
Die Schreibweise ist extrem ungünstig, weil das auch die Lokalisierung bei n, d.h. den Ring bedeuten kann. Wenn schon, dann sollte man schreiben (also ein normales Z).
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Ja, ich fange gerade mit linearer Algebra an und ich verstehe nicht ganz alles, was ihr gesagt habt. Immerhin ist jetzt klar, was das "/" bedeuten soll. Ist hochinteressant und jetzt hab ich was zum googlen.
Danke euch
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@Bashar: da wären mir jetzt eher die p-adischen zahlen als eine lokalisierung eingefallen.