Ableitung

Ich würde gerne wisen, wie man so etwas ableitet:

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x_0}^x g(s,x) ds$

otze

erstmal das unbestimmte integral bestimmen, dann das bestimmte und schließlich nach x ableiten

Wie meinst du das?

Von g kann ich keine Stammfunktion bilden.

otze

dann hast du ein Problem.

//dit Versuche ob du eventuell mit der Grenzwertdefinition der Ableitung voran kommst. Eventuell erlaubt deine Funktion irgendwelche Tricks. Ansonsten sehe ich schwarz.

ScottZhang

Ich würd mal sagen ganz klassich: Transformation auf (in x fixes) Referenzgebiet, Ableiten und wieder zurück transformieren.

knivil

Kann man die Ableitung nicht ins Integral ziehen?

C14

Mit Physikernotation für Funktionalableitung und $F(x,f) := \int_{x_0}^x f(s) ds$

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x\_0}^x g(s,x) ds = \dfrac{d}{dx} F(x, g(.,x)) = \dfrac{\partial}{\partial x} F(x, g(.,x)) + \dfrac{\partial}{\partial g} F(x, g(.,x)) \dfrac{\partial}{\partial x} g(.,x) = g(x,x) + F(x,\dfrac{\partial}{\partial x} g(.,x)) = g(x,x) + \int\_{x_0}^x \dfrac{\partial}{\partial x} g(s,x) ds$

Edit: Hatte x und s vertauscht.

otze

Welche Annahmen stecken da in g? Im Allgemeinen darf man ja nichtmal die Ableitung ins Integral ziehen, wenn die Integrationsgrenzen unabhängig von der differenzierten Variable sind.

C14

Hmm, ich habe das ja als Verkettung von
$x \to (x, g(.,x))$
und
$(x, g(.,x)) \to \int_{x_0}^x g(s,x)ds$
gesehen und dann die Kettenregel angewandt.

Damit das geht müssen beide Abbildungen differenzierbar sein.
Wenn man im mittleren Raum mal den Betrag plus die L1-Norm als Norm ansetzt, sollte es mit folgenden Voraussetzungen klappen:
x -> g(x,x) stetig
s -> g(x,s) stetig und integrierbar
x -> g(x,.) diffbar in L1-Norm
(ohne Gewähr, da der mittlere Raum so nicht vollständig ist; braucht man das hier?)