Betragsungleichung - Problem!

Hi

Aufgabe: |x/2 - 1| ≤ |2x + 7/2|

Mein Versuch:

|x/2 - 1| >= 0 → |x/2 - 1| = x/2 - 1
x/2 - 1 ≤ 2x + 7/2
x/2 - 2x ≤ 7/2 + 1
-3x/2 ≤ 9/2
-x ≤ 3
x ≥ -3

Das ist aber falsch, es kommt x ≤ -3 raus.
Was mache ich falsch und wie löst man solche Aufgaben richtig?

Ich verstehe überhaupt nicht, was Du da machst.

|x/2 - 1| >= 0 ?

Ja, klar, das ist ja der Betrag. Das macht so gar keinen Sinn. Wenn Du Fallunterscheidungen machen willst, dann mußt Du dir die Terme im Betrag ansehen und dann gibt es folgende Möglichkeiten:

1. x/2 - 1 > 0 und 2x + 7/2 > 0
2. x/2 - 1 > 0 und 2x + 7/2 < 0
3. x/2 - 1 < 0 und 2x + 7/2 > 0
4. x/2 - 1 < 0 und 2x + 7/2 < 0

Formal kannst Du diese vier Fälle betrachten, Bedingungen aufstellen usw. Allerdings kann man diese Bedingungen auch erst mal vereinfachen und evtl. Fälle eliminieren.

Beispiel:
Wenn x/2 - 1 > 0, dann x > 2.
Wenn 2x+7/2 > 0, dann x > -7/4.

Aha. Also macht es evtl. Sinn sich seine Intervalle, in denen man prüfen möchte auf x>2, x<-7/4 und den Zwischenbereich einzuschränken.

Am einfachsten ist es aber, Du malst dir erst mal die Funktionen auf der linken und rechten Seite hin; dann hast Du ja sofort die Intuition, wo die Schnittpunkte liegen und kannst dich in ruhe den formaleren Methoden zuwenden und prüfen, ob Du dich verrechnet hast.

Daniel@Work schrieb:

Ich verstehe überhaupt nicht, was Du da machst.
|x/2 - 1| >= 0 ?

ja, das ist dusselig hingeschrieben. sollte ne fallunterscheidung werden.
zugegeben, es ist ein wenig misslungen.

ich versuchs noch einmal:

|x/2 - 1| <= |2x + 7/2|

x/2 - 1 >= 0 → |x/2 - 1| = x/2 - 1
2x + 7/2 >= 0 → |2x + 7/2| = 2x + 7/2

ich möchte also erstmal den fall betrachten, wo man links und rechts der ungleichung die betragsstriche einfach weglassen kann. dann ergibt sich die rechnung, die ich oben schon gepostet habe:

x/2 - 1 <= 2x + 7/2
x/2 - 2x <= 7/2 + 1
-3x/2 <= 9/2
-x <= 3
x >= -3

es kommt aber x <= -3 raus!
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x%2F2+-+1|+≤+|2x+%2B+7%2F2|[/url]
jetzt interessiert mich, warum mein ergebnis nicht stimmt. was habe ich falsch gemacht?

knivil

Du hast nur einen Fall betrachtet. Die Loesung ergibt sich aber aus dem Schnitt aller Teilloesung mit dem Annahmeintervall. Beispiel: Aus Annahme x/2 - 1 >= 0 folgt, dass x >= 2 sein muss und nur aus diesem Intervall Loesungen in Betracht gezogen werden koennen. In Kombination mit deiner Loesung x >= -3 kommt als Loesung insgesamt nur x >= 2 in Betracht.

man muss also den schnitt aller teillösungen betrachten? gut. das erscheint mir logisch.
okay, mal sehen ob ich es verstanden habe
ich gucke mir jetzt mal den fall 3. aus den 4 möglichen fällen an:

3. x/2 - 1 < 0 und 2x + 7/2 >= 0

x/2 - 1 < 0
x < 2

2x + 7/2 >= 0
x >= -7/4

wegen der bedingung x/2 - 1 < 0 und 2x + 7/2 >= 0 kommen als lösung für den fall 3. nur x im bereich -7/4 <= x < 2 in frage.

x/2 - 1 < 0 → |x/2 - 1| = -x2 + 1

|x/2 - 1| <= |2x + 7/2|
-x/2 + 1 <= 2x + 7/2
-5x/2 <= 5/2
-x <= 1
x >= 1

wegen x >= 1 ändert sich das intervall von -7/4 <= x < 2 zu 1 <= x < 2
ist das so ok?

knivil

man muss also den schnitt aller teillösungen betrachten?

Das habe ich vielleicht unguenstig formuliert. Wenn du Fallunterscheidung machst, dann musst du, die Annahme in deinem Ergebnis beruecksichtigen.

okay.

|x/2 - 1| <= |2x + 7/2|

fallunterscheidungen:

1. x/2 - 1 >= 0, 2x + 7/2 >= 0
2. x/2 - 1 >= 0, 2x + 7/2 < 0
3. x/2 - 1 < 0, 2x + 7/2 >= 0
4. x/2 - 1 < 0, 2x + 7/2 < 0

x/2 - 1 >= 0 → x >= 2
2x + 7/2 >= 0 → x >= -7/4

x/2 - 1 <= -2x - 7/2
x >= -3

x/2 - 1 > 0 → x >= 2
2x + 7/2 < 0 → x < -7/4

x/2 - 1 <= -2x - 7/2
x <= -1

x/2 - 1 < 0 → x < 2
2x + 7/2 >= 0 → x >= -7/4

-x/2 + 1 <= 2x + 7/2
x >= 1

x/2 - 1 < 0 → x < 2
2x + 7/2 < 0 → x < -7/4

-x/2 + 1 <= -2x + -7/2
x <= -3

fall 1. ergibt x >= 2, x >= -7/4 aus den bedingungen und x >= -3 als lösung
fall 2. ergibt x >= 2, x < -7/4 aus den bedingungen und x <= -1 als lösung
fall 3. ergibt x < 2, x >= -7/4 aus den bedingungen und x > 1 als lösung
fall 4. ergibt x < 2, x < -7/4 aus den bedingungen und x <= -3 als lösung

umpf.
wie bekomme ich das jetzt unter einen hut? so, das ich auf die lösung komme?
vor lauter bedingungen und lösungen seh ich die lösung nicht(baum wald analogie :D).

knivil

vor lauter bedingungen und lösungen seh ich die lösung nicht(baum wald analogie

Nun, in Bezug auf WolframAlpha ist deine Vorgehensweise auch unguenstig. Die Betragsungleichung wird dort einfach quadriert und dann die Betragsstriche weggelassen.

hab nen fehler bei fall 3. gefunden. die editierten fälle habe ich fett markiert.

|x/2 - 1| <= |2x + 7/2|

fallunterscheidungen:

1. x/2 - 1 >= 0, 2x + 7/2 >= 0
2. x/2 - 1 >= 0, 2x + 7/2 < 0
3. x/2 - 1 < 0, 2x + 7/2 >= 0
4. x/2 - 1 < 0, 2x + 7/2 < 0

x/2 - 1 >= 0 → x >= 2
2x + 7/2 >= 0 → x >= -7/4

x/2 - 1 <= -2x - 7/2
x >= -3

x/2 - 1 > 0 → x >= 2
2x + 7/2 < 0 → x < -7/4

x/2 - 1 <= -2x - 7/2
x <= -1

x/2 - 1 < 0 → x < 2
2x + 7/2 >= 0 → x >= -7/4

-x/2 + 1 <= 2x + 7/2
x >= -1

x/2 - 1 < 0 → x < 2
2x + 7/2 < 0 → x < -7/4

-x/2 + 1 <= -2x + -7/2
x <= -3

fall 1. ergibt x >= 2, x >= -7/4 aus den bedingungen und x >= -3 als lösung
fall 2. ergibt x >= 2, x < -7/4 aus den bedingungen und x <= -1 als lösung
fall 3. ergibt x < 2, x >= -7/4 aus den bedingungen und x > -1 als lösung
fall 4. ergibt x < 2, x < -7/4 aus den bedingungen und x <= -3 als lösung

knivil schrieb:

vor lauter bedingungen und lösungen seh ich die lösung nicht(baum wald analogie

Nun, in Bezug auf WolframAlpha ist deine Vorgehensweise auch unguenstig. Die Betragsungleichung wird dort einfach quadriert und dann die Betragsstriche weggelassen.

ja, das weiß ich.
ich wollte mal versuchen, auf die lösung durch fallunterscheidungen zu kommen aber irgendwie hab ich mich da verheddert.
ich weiß auch gar nicht, ob man mit dieser vorgehensweise zum ziel kommt.

Daniel E.

s0x9 schrieb:

fall 1. ergibt x >= 2, x >= -7/4 aus den bedingungen und x >= -3 als lösung

So, und was bedeutet das? Schau dir mal die Bedingungen an. Nur wenn die Bedingungen erfüllt sind, hat die Lösung überhaupt eine Relevanz.

Du suchst jetzt also die Schnittmenge der Bedingungen und deiner Lösung.

Also die Menge aller x, für die gilt:
x >= 2
x >= -7/4
x >= -3

Das ist offensichtlich x >= 2. Das machst Du jetzt für alle deine 4 Fälle und bildest davon die Vereinigungsmenge. Dann bist Du fertig.

bedingungen und lösungen:

1. x >= 2, x >= -7/4 x >= -3
2. x >= 2, x < -7/4, x <= -1
3. x < 2, x >= -7/4, x > -1
4. x < 2, x < -7/4, x <= -3

schnittmengen der bedingungen und der lösungen

1. x >= 2
2. x < -7/4
3. -1 < x < 2
4. x <= -3

wenn ich die schnittmengen vereinige, bekomme ich nicht das wolfram alpha ergebnis raus. vllt. hab ich aber auch falsch vereinigt:

x < -7/4
x > -1

wenn ich aus den schnittmengen eine schnittmenge bilde, bekomme ich

x > -1
x <= -3

muss man zum schluss also nicht vllt doch die schnittmenge bilden?

bedingungen und lösungen:

1. x >= 2, x >= -7/4 x >= -3
2. x >= 2, x < -7/4, x <= -1
3. x < 2, x >= -7/4, x > -1
4. x < 2, x < -7/4, x <= -3

schnittmengen der bedingungen und der lösungen

1. x >= 2
2. x < -7/4
3. -1 < x < 2
4. x <= -3

Schau dir zB. 2 nochmal an. Wie kann x >= 2 sein und x < -7/4? Das scheint mir ein überschaubar großer Bereich (leer) zu sein.

wenn ich die schnittmengen vereinige, bekomme ich nicht das wolfram alpha ergebnis raus. vllt. hab ich aber auch falsch vereinigt:

x < -7/4
x > -1

wenn ich aus den schnittmengen eine schnittmenge bilde, bekomme ich

x > -1
x <= -3

muss man zum schluss also nicht vllt doch die schnittmenge bilden?

Schnittmenge: "Gemeinsamer" Bereich der Mengen.
Vereinigungsmenge: Gesamter Bereich der Mengen.

Also, wenn Du die Schnittmenge bildest, dann bekommst Du doch die leere Menge raus, weil wo ist der Überlappbereich von x <= -3 und x >= 2?

Daniel@Work schrieb:

Also, wenn Du die Schnittmenge bildest, dann bekommst Du doch die leere Menge raus, weil wo ist der Überlappbereich von x <= -3 und x >= 2?

oops. ja, klar. ich weiß jetzt auch nicht mehr, was ich mir da zusammenfantasiert hatte.

Daniel@Work schrieb:

Schau dir zB. 2 nochmal an. Wie kann x >= 2 sein und x < -7/4? Das scheint mir ein überschaubar großer Bereich (leer) zu sein.

ja, das ist überschaubar leer, das ist klar!
aber dann ist da ja noch das ergebnis x <= -1 und die schnittmenge der bedingungen und der lösung ist dann x < -7/4.

denn ich soll doch

Daniel E. schrieb:

Du suchst jetzt also die Schnittmenge der Bedingungen und deiner Lösung.

oder willst du mir damit sagen, dass wenn die schnittmenge der bedingungen eine leere menge ist, dass man dann das ergebnis nicht berücksichtigt?

oder wolltest du einfach nur auf die bildung des ergebnisses hinaus, dass man zum schluss vereinigen tut?

komisch das problem war gelöst, wo sind die ganzen beiträge hin?