Zahl einordnen

otze

[quote="5cript"]Ich kann ja auch nicht einfach sagen, dass Rechenoperation XY zu einer nicht mehr rationalen Zahl führt... oder kann ich?[quote]
Meistens nicht.

hier wäre wiederrum die Frage: muss ich #inf Elemente aufsummieren um das exakte Ergebnis zu erhalten?

Ja.

Ist das Restglied jemals exakt Null?

Nein.

Ups ja natürlich... *Kopf wieder anschalt*

volkard

5cript schrieb:

sin(x) = sum(0, inf, (-1)^n * (x^(2n+1)) * ((2n+1)!)^-1 )
Wenn ich diese Frage für die wichtigsten Operationen systematisch (algorithmisch) klären könnte...

Hübsches Problem
sin(0°)=0 //natürlich
sin(30°)=.5 //rational
sin(45°)=sqrt(.5) //algebraisch
sin(sin(45°))=0.6… //reell
sin(e)=0.4… //keine ahnung

Für sin und sqrt kann ich's ja nachschlagen (vermute ich). Ums allgemeiner zu fassen, müsste man sich auf eine Darstellung einigen, die einige Funktionen darstellen kann.

Zum Beispiel Deine Taylor-Reihe, ähm, mit "einfachen" Zählern. Als Zähler die Primalität der n-ten Fermatzahl wäre fies, weil noch keiner weiß, ob es nur die bekannten 5 Fermatprimzahlen gibt oder mehr, kann auch der beste Computer darüber wenig sagen. (Außerdem könnte man mit dem Algo, wenn es ihn allgemein gäbe, bestimmt gut Gödel ärgern.)

Puh, bei Potenzen im Zähler wird mir schon ganz schwummrig.
http://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Schanuel

Achtung! Nicht in google nach "transcendental power" suchen. Der da angezeigte Shitstorm haut einen um.

http://xkcd.com/468/

Jockelx

5cript schrieb:

Ich kann ja auch nicht einfach sagen, dass Rechenoperation XY zu einer nicht mehr rationalen Zahl führt... oder kann ich?
sqrt(2) -> irrational
sqrt(4) -> rational (-> ganz -> natürlich)
sqrt(x) -> ? : hier ist bekannt, welcher Menge x element ist.

In dem Fall aber schon:
sqrt(x) -> natürlich, falls x Quadratzahl, irrational sonst

Jester

sqrt(9/4) = 3/2 oder ist x ganzzahlig vorausgesetzt?

Jockelx

Weiß ich nicht, da ich die Ausgangsfrage nicht wirklich verstehe.
Bin nur auf das Beispiel eingegangen und da schien mir x natürlich zu sein.
Wobei man -wenn ich jetzt nichts übersehe - auch sagen kann, dass sqrt(p/q) genau dann rational ist, wenn p und q Quadratzahlen sind.

Jester

fast: sqrt(3/27) = 1/3.

Jockelx

Na komm, ich bin mir mit meiner Aussage sowieso nicht sicher, aber das p/q in gekürzter Form vorliegen muss, versteht sich wohl von selbst.

Jester

Jockelx schrieb:

Na komm, ich bin mir mit meiner Aussage sowieso nicht sicher, aber das p/q in gekürzter Form vorliegen muss, versteht sich wohl von selbst.

Ich denke wenn man die Teilerfremdheit von p und q noch fordert, dann stimmt das: (a/b)^2 = p/q mit a,b und p,q teilerfremd. Dann ist p/q = a^2/b2, dabei sind auch a^2 und b^2 teilerfremd, weil quadrieren keine neuen Teiler erfindet. Gekürzt ist die Darstellung von Brüchen aber eindeutig, und es folgt, dass p=a^2 und q=b^2, wie gewünscht.

Ich finde aber schon dass man das mit der Teilerfremdheit hinschreiben muss und es sich eben nicht von selbst versteht. Mir ist natürlich klar, dass Du das gemeint hast (deswegen auch die smilies), aber unsauber hingeschrieben ist es trotzdem. Außerdem braucht man das im Beweis ja auch ziemlich entscheidend.

volkard

Jester schrieb:

weil quadrieren keine neuen Teiler erfindet.

Ich finde, 100 hat mehr Teiler als 10.

5cript

Mir sind die natürlichen und ganzen Zahlen erstmal gar nicht so wichtig. Ich behaupte mal, dies herauszufinden ist offensichtlich problemlos.

(Ich möchte die Definition, dass eine Zahl ein Element eines Körpers ist hier nicht verwenden, der Einfachheit halber)

Eine Idee diese Erkenntnisse zu nutzen wäre alle Rechenergebnisse, die sich Genauigkeitsverlustfrei abspeichern lassen auch so abzuspeichern.

Was mir jetzt so frei heraus einfällt:

c = a + b   c ist Element der mächtigeren Menge (aus denen a und b sind)
c = a * b   c ist Element der mächtigeren Menge (aus denen a und b sind)
c = sqrt(a) // bei Wurzeln mit einem Wurzelexponenten verschieden von 2 gelten die regeln vermutlich nicht mehr für Quadratzahlen, sondern (n*...*n) = a 
    - c ist Element der ganzen Zahlen, wenn a eine ganze Quadratzahl ist
    - Seien p und q Elemente der ganzen Zahlen, so ist c eine rationale Zahl, wenn p und q mit a=p/q Quadratzahlen sind und q und p teilerfremd sind
    - Ansonsten ist c irrational
c = a ^ b  (^ = potenzierungoperator)
    - ist a eine ganze Zahl und ist b eine natürliche Zahl (und 0), so ist c eine natürliche Zahl (mit 0)
    - ist a eine ganze Zahl und ist b eine ganze Zahl vermindert um die natürlichen Zahlen (mit 0), so ist c eine rationale Zahl
    - ist a eine natürliche Zahl (mit 0) und ist b eine rationale Zahl, ... siehe Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten
    - ist a eine irrationale Zahl kleiner 0, so ist c komplex
    ... (faulheit :D)
c = log_base(a)
    ...
c = sin / cos / tan / arcsin / arccos / arctan (keine klare Aussage treffbar(?))
    ...
c = sinh / cosh / arsinh / arcosh   (zurückführbar auf regeln für potenzierung)
c = a!
    ... (zurückführbar auf regeln für multiplikation, wenn a nicht rational oder gar irrational)

volkard

c = a + b c ist Element der mächtigeren Menge (aus denen a und b sind)
pi + -pi = 0

c = a * b c ist Element der mächtigeren Menge (aus denen a und b sind)
pi^1 * pi^-1 = 1

https://xkcd.com/179/

5cript

verdammt!

EDIT: noch mehr Ausnahmen!

Jester

volkard schrieb:

Jester schrieb:

weil quadrieren keine neuen Teiler erfindet.

Ich finde, 100 hat mehr Teiler als 10.

stimmt, es muss "Primfaktoren" heißen.