Kausalität von Systemen

Ich verstehe leider nicht den tieferen Gedanken hinter der Feststellung, dass die beschreibende Differentialgleichung kausaler Systeme die Eingangsgröße nicht in höherer Ableitung als die Ausgangsgröße besitzen darf.

Wenn ich mir einfach y = u' vorstelle, dann kann ich mir denken, dass u' ja eine Aussage über das künftige Verhalten von u beinhaltet (Man denke an die Taylorentwicklung). Aber die Aussage über die Ableitungsgrade gilt ja allgemein, also wenn höhere Ableitungen der Ausgangsgröße auftauchen, dann dürfen ja auch Ableitungen der Eingangsgröße bis zu diesem Grad auftauchen.

Was ist der Grund, dass solche Systeme von Prinzip her akausal wären?

Ich habe mehrere einführende Bücher durchgeschlagen und da steht halt immer wieder nur was Kausalität bedeutet und dann "also muss m <= n gelten" ohne nähere Begründung.
Im Lunze steht immerhin noch beschrieben, dass die ganzen zulässigen Ableitungen (die dann ja im kausen Fall nur "innere" Größen sind) im System so direkt nicht "existieren" und auch ein Beispiel dafür, dass man keinen realen Differenzierer bauen kann, aber einen abstrakten Beweis, dass die Lösung einer solchen Dgl. mit m > n in jedem Falle akausal wäre, bleibt auch er schuldig.

Könnt ihr mir da auf die Sprünge helfen?

Oder mal andersherum: Wie konstruiert man eigentlich zwei Funktionen, die in allen Ableitungen stetig sind (oder muss das für reale Signale so gar nicht gelten?), und in einem endlichen Intervall dieselben Funktionswerte liefern? Irgendwie kommt es mir auf Anhieb so vor, als ob das gar nicht ginge... Weil mir ein solcher Satz Funktionen fehlt, fällt es mir auch irgendwie schwer, anhand dessen einfach mal verschiedene DGLn damit durchzunudeln...

ScottZhang

http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier

Bashar

bzw. allgemeiner http://de.wikipedia.org/wiki/Testfunktion

Hehehe, da ist so ziemlich jeder Begriff ein Fremdwort für mich und die anklickbaren Begriffe führen zu ebensovielen weiteren... Irgendwie sollte ich wohl lieber einfach glauben, dass "m <= n" Kausalität sicherstellt.

Bashar

Das sind einfach Beispiele für Funktionen, die unendlich oft stetig differenzierbar sind und außerhalb eines kompakten Intervalls Null werden. Die kannst du benutzen, um Beispiele für deine Frage zu konstruieren:

Wie konstruiert man eigentlich zwei Funktionen, die in allen Ableitungen stetig sind (oder muss das für reale Signale so gar nicht gelten?), und in einem endlichen Intervall dieselben Funktionswerte liefern?

Ja okay, das habe ich ja noch eingesehen. Aber soweit ich das verstanden habe, sind die Funktionen selber nicht analytisch, ich wüsste nicht, wie ich damit umgehen sollte, dafür müsste ich ja verstehen, was das für Auswirkungen hat usw.
Vielleicht bringen die mich dann (nach ein paar Monaten intensivster Mathematikgrundlagenforschung) auch überhaupt nicht weiter in meiner Bemühung, die ursprüngliche Frage zu beantworten