eigentlicher Morphismus von k-Varietäten ==> endlich
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Warum ist ein eigentlicher Morphismus von k-Varietäten automatisch endlich? Ich habe überhautp keinen Plan
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Was genau verstehst Du unter einer k-Varietät?
edit: und sag doch gleich noch dazu, wie ihr eigentlich definiert habt. Habt ihr das Bewertungskriterium dafür gemacht?
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k-Varietät = k Körper, endliche Verklebung von Spec(k-Algebra). Bewertungskriterien hatten wir
thx!!
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Naja, dann ist erstmal klar, daß die Teile noethersch sind, das heißt wir dürfen das Bewertungskriterium auch tatsächlich benutzen. Das ist schonmal ganz nett.
Ich weiß aber nicht, ob's wirklich was hilft.Konkret müssen wir nachrechnen, daß für ein A:=k[x1,...,xn] das Urbild von Spec(A) wieder affin ist und die globalen Schnitte davon ein endlich erzeugter A-Modul sind.
Endlich erzeugt als Algebra wissen wir schon, da "eigentlich" "von endlichem Typ" beinhaltet. Ein erste Idee wäre vielleicht mal so zu tun, als sei das nicht der Fall. Vielleicht kann man dann im Bewertungsdiagramm irgendwelche Freiheiten gewinnen, und so mehrere Diagonalmorphismen konstruieren, also die Separiertheit verletzen.
Ich denke auf jeden Fall mal noch weiter drüber nach.
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sorry. Beide Varietäten sollen affin sein. Damit ist "affin" schonmal ok.
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Also nix mit endlicher Verklebung. Das macht die Situation natürlich nochmal deutlich einfacher.
Beides sind also Spektrum einer k-Algebra.
Die Situation sieht also so aus:f: X:=Spec(k[x1,...,xr]) ---> Spec(k[y1,...,ys])=:Y ist eigentlich.
Endlich bedeuetet, daß das Urbild jeder affinen Menge affin ist und die Schnitte als Modul schon endlich erzeugt sind. Hier: Y ist schon affin, Urbild von Y ist X. Die globalen Schnitte von Y sind gerade k[x1,...,xr].
Zu zeigen ist also nur noch, daß k[x1,...,xr] ein endlich erzeugter k[y1,...,ys]-Modul ist.
Hilfreich ist sicher, daß man statt Schemamorphismen anzuschaun einfach die Pfeile rumdrehen kann und k-Algebrenhomomorphismen rechnen kann. Versuch doch mal, ob man damit dann im Bewertungskriterium weiter kommt.
Außerdem ne Idee: Sind Varietäten bei Dir immer irreduzibel (gibt Definitionen, die das fordern und solche, die's nicht tun). Falls ja, dann haste ja nen eindeutigen Dimensionsbegriff. Mit Noether-Normalisierung kannste die k-Algebren dann auf ne Standardform bringen, daß sie eben von so vielen transzendenten Elementen erzeugt werden, wie die Dimension groß ist. Der Rest der dann noch fehlt ist ein endlicher algebraischer Schritt (also schon als Modul endlich erzeugt). Das ganze hat also was mit dem Transzendenzgrad über k der beiden Algebren zu tun.
MfG Jester
P.S.: Der große Unterschied zwischen "als Modul endlich erzeugt" und "als Algebra endlich erzeugt" ist Dir klar, oder?
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Jester schrieb:
P.S.: Der große Unterschied zwischen "als Modul endlich erzeugt" und "als Algebra endlich erzeugt" ist Dir klar, oder?
jupp. Die Beh. ist also äquivalent dazu, dass es keine über der "unteren" k-Algebra transzendenten Elemente oben gibt.
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Genau so ist es. Berichte zwischendurch mal, wie Du vorankommst. Würde mich auch interessieren, wie das nun genau geht.
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Das folgt aus "Zariki's Main Theorem".
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help me schrieb:
Warum ist ein eigentlicher Morphismus von k-Varietäten automatisch endlich? Ich habe überhautp keinen Plan
Das ist übrigens falsch: Betrachte die Aufblasung vom Ursprung im IA^n für n > 1.
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Es folgt auch aus dem Kohärenzsatz.
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Siehe auch [Liu], Lemma 3.3.17.