differenzierbare funktionen

[Fytch]

hallo

man betrachte die folgende differenzierbare funktion:
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^3 + 3x^2-5x$

sei $B$ das bild von $f$:
B = \operatorname{Bild}(f) = \left \{ y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R}: f(x) = y \right \}

es wird die funktion $f$ nun auf das bild beschränkt (gibt es spezifisch dafür eine bezeichnung?):
$g: \mathbb{R} \rightarrow B, x \mapsto f(x)$

offensichtlich ist $g$ nun eine bijektion:
$g^{-1} \circ g = \mathrm{id}_\mathbb{R}$
$g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_B$

recht offensichtlich sind sowohl $f$ als auch $g$ glatt:
$f, g \in C^\infty(\mathbb{R})$

1. wie zeigt man, dass sie glatt sind, ohne einfach zu sagen, dass sie in \mathbb{Q}[X] sind?

sei $D$ der funktionsgraph von $f$ oder von $g$ (spielt hier keine rolle):
$D = G\_f = G\_g = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R} \times B \mid y = g(x) \right \}$

sei $d$ die metrik $d: D^2 \rightarrow \mathbb{R}_{\geq0}, \left ( \left ( x\_1, y\_1 \right ), \left ( x\_2, y\_2 \right ) \right ) \mapsto \sqrt{(x\_1 - x\_2)^2 + (y\_1 - y\_2)^2}$.

ε-umgebungen im metrischen raum $(D, d)$ sind wie folgt definiert:
$\forall x \in$ U_{\varepsilon}(x) = \left \{ y \in D \mid d(x, y) < \varepsilon \right \}

lokal bedeutet im folgenden lokal bzgl. einer umgebung $U_{\varepsilon}$.

zur vereinfachung definiere ich die ε-funktion zur bestimmung eines ε-wertes zweier punkte im funktionsgraphen:
$\varepsilon : D^2 \rightarrow \mathbb{R}_{\geq0}, (x, y) \mapsto \frac{d(x, y)}{3}$

$B$ ist ein hausdorff-raum:
$x, y \in B: x \neq y \Rightarrow U_{\varepsilon (x,y)}(x) \cap U_{\varepsilon (x,y)}(y) = \emptyset$
x, y \in B: x \neq y \Rightarrow x \in U_{\varepsilon (x,y)}(x) \not \ni y

konstruiert man nun den funktionsgraph $G_q$ von $q = f|_\mathbb{Q}$, so liegt $G_q$ dicht in $G_g$, womit $G_g$ separabel ist.

$B$ ist lokal euklidisch, ein homöomorphismus zwischen der ε-umgebung und $\mathbb{R}^1$ lautet:
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} \forall x \in$ h: U_{\varepsilon}(x) \rightarrow \mathbb{R}, (a, b) \mapsto \frac{1}{\varepsilon - x} - \frac{1}{\varepsilon + x}

2. ist somit $D$ eine mannigfaltigkeit?

gruss

[C14]

asfdlol schrieb:

offensichtlich ist $g$ nun eine bijektion:
$g^{-1} \circ g = \mathrm{id}_\mathbb{R}$
$g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_B$

Nein, denn f ist nicht injektiv! (Beweis durch plot )
Dass f glatt ist, ist klar, weil es ein Polynom ist.

asfdlol schrieb:

ein homöomorphismus zwischen der ε-umgebung und $\mathbb{R}^1$ lautet:
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} \forall x \in$ h: U_{\varepsilon}(x) \rightarrow \mathbb{R}, (a, b) \mapsto \frac{1}{\varepsilon - x} - \frac{1}{\varepsilon + x}

2. ist somit $D$ eine mannigfaltigkeit?

Ja, D ist eine Mannigfaltigkeit, aber mit deinem Homöomorphismus stimmt was nicht, er bildet alles auf einen Punkt ab.
Probiers stattdessen mal mit
$h: D \mapsto \mathbb{R}, (a, b) \mapsto a$

[Fytch]

danke fürs antworten.

C14 schrieb:

Nein, denn f ist nicht injektiv! (Beweis durch plot )

argh... ja, selbstverständlich, wie dumm... ich hätte den quadratischen koeffizienten weglassen sollen.

C14 schrieb:

Dass f glatt ist, ist klar, weil es ein Polynom ist.

kann man das auch anders zeigen?

C14 schrieb:

Ja, D ist eine Mannigfaltigkeit, aber mit deinem Homöomorphismus stimmt was nicht, er bildet alles auf einen Punkt ab.

ups, der sollte eher wie folgt lauten:
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} \forall (x, y) \in$ h: U_{\varepsilon}((x, y)) \rightarrow \mathbb{R}, (a, b) \mapsto \frac{1}{\varepsilon - (a - x)} - \frac{1}{\varepsilon + (a - x)}

C14 schrieb:

Probiers stattdessen mal mit
$h: D \mapsto \mathbb{R}, (a, b) \mapsto a$

muss der homöomorphismus nicht von der umgebung ($U_{\varepsilon}$) in eine offene teilmenge eines euklidischen koordinatenraums ($\mathbb{R}^n$) abbilden?

[Bashar]

asfdlol schrieb:

C14 schrieb:

Dass f glatt ist, ist klar, weil es ein Polynom ist.

kann man das auch anders zeigen?

Wie stellst du dir das vor? Glatt heißt doch beliebig oft stetig differenzierbar, also wirst du wohl nicht umhinkommen, die stetige Differenzierbarkeit nachzuweisen, dann die Ableitung zu bilden und das solange zu wiederholen, bis du bei 0 angekommen bist. Der Beweis, dass das für alle Polynome funktioniert, ist exakt das gleiche in allgemeiner Form. Du sparst also nichts.

Wozu brauchst du das eigentlich? Ich denke doch, dass der Graph jeder stetigen Funktion ($\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) homöomorph zu $\mathbb{R}$ über die Projektion auf die erste Komponente ist, Glattheit oder Bijektivität braucht man nicht.

C14 schrieb:

Ja, D ist eine Mannigfaltigkeit, aber mit deinem Homöomorphismus stimmt was nicht, er bildet alles auf einen Punkt ab.

ups, der sollte eher wie folgt lauten:
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} \forall (x, y) \in$ h: U_{\varepsilon}((x, y)) \rightarrow \mathbb{R}, (a, b) \mapsto \frac{1}{\varepsilon - (a - x)} - \frac{1}{\varepsilon + (a - x)}

Und das ist ein Homöomorphismus? Glaub ich jetzt einfach mal :p

C14 schrieb:

Probiers stattdessen mal mit
$h: D \mapsto \mathbb{R}, (a, b) \mapsto a$

muss der homöomorphismus nicht von der umgebung ($U_{\varepsilon}$) in eine offene teilmenge eines euklidischen koordinatenraums ($\mathbb{R}^n$) abbilden?

Tut er doch. Außerdem genügt von einer Umgebung, es muss nicht dein Epsilon sein. Und ganz wesentlich: Es genügt ein Homöomorphismus mit einer offenen Teilmenge von IR, einer mit ganz IR ist nicht nötig.

[Fytch]

Bashar schrieb:

Wozu brauchst du das eigentlich? Ich denke doch, dass der Graph jeder stetigen Funktion ($\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) homöomorph zu $\mathbb{R}$ über die Projektion auf die erste Komponente ist, Glattheit oder Bijektivität braucht man nicht.

ich wollte ursprünglich was mit der bijektivität zeigen, was ich dann aber doch gelassen habe, woraufhin hab ich vergessen dieses überbleibsel rauszulöschen.

Bashar schrieb:

ups, der sollte eher wie folgt lauten:
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} \forall (x, y) \in$ h: U_{\varepsilon}((x, y)) \rightarrow \mathbb{R}, (a, b) \mapsto \frac{1}{\varepsilon - (a - x)} - \frac{1}{\varepsilon + (a - x)}

Und das ist ein Homöomorphismus? Glaub ich jetzt einfach mal :p

ich glaube, ich hab noch einen kleinen fehler gemacht. mein $h$ war nicht bijektiv, da ich die zielmenge nicht eingeschränkt habe auf das offene intervall $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$. ist aber auch egal nun, der von C14 ist eh besser.

Bashar schrieb:

Außerdem genügt von einer Umgebung, es muss nicht dein Epsilon sein. Und ganz wesentlich: Es genügt ein Homöomorphismus mit einer offenen Teilmenge von IR, einer mit ganz IR ist nicht nötig.

ah, okay, so ist das also. das bedeutet dann aber auch, dass z.b. auch eine stetige bijektion zwischen der grundmenge der mannigfaltigkeit und einer offenen teilmenge des euklidischen kooordinatenraums ein homöomorphismus ist, der die lokale "euklidizität" belegt, ja?

[Bashar]

asfdlol schrieb:

ah, okay, so ist das also. das bedeutet dann aber auch, dass z.b. auch eine stetige bijektion zwischen der grundmenge der mannigfaltigkeit und einer offenen teilmenge des euklidischen kooordinatenraums ein homöomorphismus ist, der die lokale "euklidizität" belegt, ja?

Nicht ganz mein Gebiet, aber was verstehst du unter der Grundmenge? Der Begriff der Mannigfaltigkeit setzt IMO keine Einbettung in einen bestimmten Raum voraus, ich weiß auch nicht, ob es eine solche in einen euklidischen Raum immer gibt (ich nehme stark an nein). Und wenn du eine solche Einbettung hast, dann ist der Homöomorphismus die Identität, aber das hat nichts mit der angeblichen Mannigfaltigkeit zu tun, das könnte ja eine beliebige Teilmenge sein. Nein, du verallgemeinerst hier eine sehr spezielle Situation unzulässig.

[C14]

Bashar schrieb:

asfdlol schrieb:

ah, okay, so ist das also. das bedeutet dann aber auch, dass z.b. auch eine stetige bijektion zwischen der grundmenge der mannigfaltigkeit und einer offenen teilmenge des euklidischen kooordinatenraums ein homöomorphismus ist, der die lokale "euklidizität" belegt, ja?

Nicht ganz mein Gebiet, aber was verstehst du unter der Grundmenge? Der Begriff der Mannigfaltigkeit setzt IMO keine Einbettung in einen bestimmten Raum voraus, ich weiß auch nicht, ob es eine solche in einen euklidischen Raum immer gibt (ich nehme stark an nein). Und wenn du eine solche Einbettung hast, dann ist der Homöomorphismus die Identität, aber das hat nichts mit der angeblichen Mannigfaltigkeit zu tun, das könnte ja eine beliebige Teilmenge sein. Nein, du verallgemeinerst hier eine sehr spezielle Situation unzulässig.

Ich denke er meint mit Grundmenge eben die Mannigfaltigkeit als Menge und war verwundert, dass "global homöomorph zum R^n" (wie in diesem Spezialfall, d.h. nur eine Karte für die ganze Mannigfaltigkeit) "lokal homöomoph zum R^n" (wie bei der Definiton von Mannigfaltigkeit gefordert) impliziert.
Das ist aber trivial, weil die Menge selbst eben eine Umgebung all ihrer Punkte ist, d.h. der globale Homoömorphismus ist zugleich für jeden Punkt der "lokale Homöomorphismus".

Zur Einbettung von Mannigfaltigkeiten in den R^n:
http://de.wikipedia.org/wiki/Einbettungssatz_von_Whitney

[Bashar]

Danke. Ich wollte eigentlich nur triggern, dass nochmal jemand mit Ahnung was dazu sagt