Lineare Algebra

Also ich hatte grad Klausur, ist net so toll gelaufen, aber 2 Aufgaben, die ich nicht geschafft habe, interessieren mich wirklich noch:

Seien n Vekotren aus einem VR gegeben. Sie sind genau dann linear abhängig, wenn

\det\begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

Hier hänge ich total. Alles was mir zu der Matrix einfällt:
Sie ist symmetrisch. Also diagonalisierbar und hat mindestens einen Eigenwert, der Null ist. Lineare Abhängigkeit heißt dass ich mindestens einen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen kann.

Seien 5 Punkte aus dem IR^2 gegeben. Zeige, dass es einen Kegelschnitt gibt, der alle 5 Punkte beinhaltet. Ich habe hier zu nur auf WIki die Aussage gefunden, aber keine Ahnung, wie man das beweist.

Bashar

pkloper schrieb:

Seien n Vekotren aus einem VR gegeben. Sie sind genau dann linear abhängig, wenn
\det\begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

Das kann man eigentlich direkt machen. Ich nehme nur an, dass $\langle , \rangle$ eine nicht ausgeartete Bilinearform ist.

\det \begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

gdw. es eine nichttriviale Linearkombination
$\sum a\_i \begin{pmatrix} \langle v\_1, v\_i \rangle \\ \vdots \\ \langle v\_n, v_i \rangle \end{pmatrix} = 0$ gibt,
$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sum a\_i \langle v\_1, v\_i \rangle \\ \vdots \\ \sum a\_i \langle v\_n, v\_i \rangle \end{pmatrix} = 0$
$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \langle v\_1, \sum a\_i v\_i \rangle \\ \vdots \\ \langle v\_n, \sum a\_i v\_i \rangle \end{pmatrix} = 0$

Nenne W den Untervektorraum, der von $v\_1, \ldots, v\_n$ aufgespannt wird, und nenne $w := \sum a\_i v\_i$ . Dann ist also w in W enthalten, aber aufgrund der letzten Formel auch orthogonal zu allen Vektoren aus W, aber $W \cap W^{\bot} = \{ 0 \}$ , d.h. w = 0, so dass $v\_1, \ldots, v\_n$ linear abhängig sind.

Sind $v\_1, \ldots, v\_n$ umgekehrt linear abhängig, so ist w = 0 und damit natürlich die letzte Formel sofort gültig.

Seien 5 Punkte aus dem IR^2 gegeben. Zeige, dass es einen Kegelschnitt gibt, der alle 5 Punkte beinhaltet. Ich habe hier zu nur auf WIki die Aussage gefunden, aber keine Ahnung, wie man das beweist.

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte im $\mathbb{R}^2$ lautet $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$ . Wenn du forderst, dass diese an 5 Punkten gilt, hast du ein homogenes lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 6 Unbekannten, also einen eindimensionalen Lösungsraum.

Ich habe das mit dem linearen Gleichungssystem erkannt, aber nur weil ich mehr UNbekannt habe als Gleichungen, muss es doch nicht IMMER eine Lösung geben?

Gesucht x,y,z

I : x= 3
II: x= 1

.

Was garantiert mir in dem Fall die Lösbarkeit?

Bashar

Du hast das Wort homogen übersehen.

Das kommt davon , wenn man immer nur x uny als Variablen kennt. da hab ich glatt +f fü eine Inhomogenität gehalten. Ich war so knapp dran

Bashar schrieb:

{...] also einen eindimensionalen Lösungsraum.

was, wenn die Gleichungen nicht unabhängig sind? dim Kern = n - Rang >= 6 - 5

Bashar

OK, einen mindestens eindimensionalen Lösungsraum