Norm in Integral

Hier in einem Skript wird ständig so etwas in der Art gemacht:

$\Vert \int_{t\_0}^t e^s ds \Vert \leq \int\_{t_0}^t \Vert e^s \Vert \; ds$

s ist hierbei eine Matrix ist. Nun frage ich mich wie das ganze funktioniert und wie ich es interpretieren kann und auch ein wenig ob es überhaupt immer geht.

Das kleiner-gleich kommt sicher von der Dreiecksungleichung, wenn man das Integral als eine Vielzahl von Summen ansieht.

Aber was ich nun nicht verstehe:

- wie integriere ich über Matrizen ? e^s ist ja eine Matrix letzten Endes
- wie integriere ich über die Norm der Matrix? Oder was ist das eigentlich?
kommt bei | e^s | eine Funktion heraus? ist sie stetig/differenzierbar?

Da Normen ja stetig sein sollten und e^x auch stetig ist, glaube ich dass der Punkt ok ist, aber irgendwie bin ich nicht so ganz überzeugt.

- darf ich die Norm immer in das Integral ziehen, egal von was ich ausgehe?

Da ich in Mathe eine ziemliche Null bin und viel nacharbeiten muss, bis ich es verstehe, kann es in Zukunft öfter passieren, dass ich solche dummen Fragen stellen werde
Sorry schonmal im Voraus,
hoffe dass sich doch jemand die Zeit nimmt, mir die Sachen zu erklären.

Bashar

Sicher, dass da nicht $\int_{t_0}^t e^{As} ds$ steht? Dass s, t₀ und t Matrizen sein sollen, kann ich mir irgendwie nicht vorstellen.

t und t_0 sind aus R.

Prinzipiell steht da schon e^ As, allerdings in dem konkreten Beispiel, dass ich durcharbeite, ist A gerade die Identität.

Also kurz und knapp:

Ja, du hast Recht.

Bashar

Wenn A die Identität ist, macht das s noch lange nicht zu einer Matrix.

OK, dann ist das mit meinem kümmerlichen Analysis-II-Wissen zu beantworten:

- wie integriere ich über Matrizen ? e^s ist ja eine Matrix letzten Endes

Komponentenweise.

- wie integriere ich über die Norm der Matrix? Oder was ist das eigentlich?
kommt bei | e^s | eine Funktion heraus? ist sie stetig/differenzierbar?

Das ist eine gewöhnliche reellwertige Funktion. Sie ist natürlich stetig, differenzierbar nicht unbedingt, aber das ist ja für das Integral uninteressant.

- darf ich die Norm immer in das Integral ziehen, egal von was ich ausgehe?

Meines Wissens ja, aber nagel mich nicht drauf fest.