Textaufgabe

Die Einwohnerzahl einer Stadt beträgt zu einem festen Anfangszeitpunkt 40000. Die Geburten und Sterberate führen zu einer Verdopplung der Einwohnerzahl alle 50 Jahre. Zusätzlich ziehen jährlich 400 Menschen vom Umland in die Stadt.

Erstellen Sie ein einfaches Modell zur Bestimmung der Einwohnerzahl und berechnen Sie damit die Einwohnerzahl der Stadt in 10 Jahren.

Ich bin hier heillos überfordert.

Ich weiß dass

N(t+50) = 2* N(t) gilt. Aber wie leite ich damit eine Differentialgleichung her?
Über Wiki hätte ich jetzt das exponentielle Wachstum genommen und die Formel für die Halbwertszeit ein wenig verändert um damit meine Konstante für die e-Funktion zu bestimmen. Aber so ganz kapieren tu ich das noch nicht. Was mich am meisten stört, ist dass die Zeit für die Verdopplung nicht mit der für den konstanten Zuwachs übereinstimmt.

Wie löst man diese Aufgabe?

Jodocus

Deine Differentialgleichung lautet:
$N'(t)=\lambda N(t)$
Der Lösungsansatz lautet: $N(t)=N(0)\mathrm e^{\lambda t}$ .
Jetzt betrachte die Zuwächse mal getrennt voneinander. Wie sieht die Funktion N aus, wenn sich alle 50 Jahre die Bevölkerung verdoppelt, ohne dass jedes Jahr noch 400 hinzukommen?

Jetzt sei 1 Jahr vergangen und es kommen nun jährlich 400 Menschen hinzu, die sich nun ebenfalls alle 50 Jahre verdoppeln. Wie sieht dann die Funktion aus, wenn t Jahre vergangen sind? Tipp: geometrische Reihe

Die Gesamtzahl der Menschen ist dann die Summe beider Teile.

Ich komme da überhaupt nicht damit klar.

Also die DGL müsste unter Vernachlässigung des Zuwachses laut der Formel

$40000 * e^{2t}$ sein.

Selbst das ist mir schon schleierhaft.

Ich versuche aus N(t+50) = 2* N(t) irgendwie einen Grenzrozess zu finden, so dass ich nach dN(t) auflösen kann, aber wie komme ich da hin?

Setzt man die DGL auf das obige fest, kann ich den Zuwachs getrennt sehen.

Die zugezogegen Bürger des ersten Jahres vermehren sich ja genau so, nur dass diese (t-1) im Exponenten haben sollten und ein anderes N0.
Also 400 * e^(2(t-1)). Im zweiten Jahr kommt eine noch eine Fuhre dazu mit t-2 im Exponenten, usw ...

Aber irgenwas stimmt da doch noch nicht. Ich muss doch die 50 Jahre irgendwo berücksichtigen?

Jodocus

Ich komme da überhaupt nicht damit klar.

Macht nichts, die Aufgabe ist auch nicht wirklich einfach.

text__ schrieb:

Also die DGL müsste unter Vernachlässigung des Zuwachses laut der Formel

$40000 * e^{2t}$ sein.

Selbst das ist mir schon schleierhaft.

Kein Wunder, das stimmt auch nicht.

Setze doch einfach mal den Ansatz, den ich oben geschrieben habe in die Differentialgleichung ein und stelle sie nach der Wachstumskonstante $\lambda$ um. Anschließend schaust du mal, wie man diese Konstante durch die Halbwertszeit/Verdopplungszeit ausdrücken kann. Alternativ kannst du den gleichen Ansatz auch in $N(t + 50) = 2N(t)$ einsetzen, du kommst da auf das gleiche Ergebnis.

Setzt man die DGL auf das obige fest, kann ich den Zuwachs getrennt sehen.

Die zugezogegen Bürger des ersten Jahres vermehren sich ja genau so, nur dass diese (t-1) im Exponenten haben sollten und ein anderes N0.
Also 400 * e^(2(t-1)). Im zweiten Jahr kommt eine noch eine Fuhre dazu mit t-2 im Exponenten, usw ...

Aber irgenwas stimmt da doch noch nicht. Ich muss doch die 50 Jahre irgendwo berücksichtigen?

Das kommt schon sehr nahe ran.

SeppJ

text__ schrieb:

Ich komme da überhaupt nicht damit klar.

Also die DGL müsste unter Vernachlässigung des Zuwachses laut der Formel

$40000 * e^{2t}$ sein.

Das ist keine Gleichung. Und ganz bestimmt keine Differentialgleichung. Wenn man links so etwas wie " $N(t) =$ " ergänzt, dann hätte man die Lösung einer gewissen DGL, nämlich von $N'(t)=2*N(t)$

Aber dann stimmt die Skalierung mit dem t ganz und gar nicht, wie du ja schon gemerkt hast. Deswegen hat Jodocus ja auch
$N'(t)=\lambda*N(t)$
als Ansatz vorgeschlagen. Die Lösung davon hat er auch genannt, das ist
$N(t)=N(0)e^{\lambda t}$
Und du willst nun erreichen, dass
$N(\text{50 Jahre})=2*N(0)$ gilt. Was muss denn wohl λ sein, damit $\exp(\text{50 Jahre} \cdot \lambda )=2$ ? (λ hat die Dimension 1/Zeit!)

So weit nachvollziehbar und λ ausgerechnet?

Ok, ich habe das so angepackt, wie ich es ursprünglich geplant hatte (zumindest der erste teil), indem ich die Wikipedia-Formel für Halbwertszeit angepasst habe.

N(t) = N_0 e^{\frac{ln(2)}{50}

Setze ich hier N0 auf 1 und setze 50 ein, bekomme ich wie erwartet 2 heraus.
Mein t ist nun, wenn ich es richtig sehe einem Jahr entsprechend. Also müsste das mit t-1 pro künftiger Generation auch hinkommen. ALso hätte ich dann eine Summe von k=2 bis t (oder k= 1 bis t-1?) von 400*exp(ln2/50*t).

Jodocus

text__ schrieb:

Ok, ich habe das so angepackt, wie ich es ursprünglich geplant hatte (zumindest der erste teil), indem ich die Wikipedia-Formel für Halbwertszeit angepasst habe.

$N(t) = N_0 e^{\frac{ln(2)}{50}t}$ [FTFY]

Sehr schön, jetzt noch ein bisschen vereinfachen:
$N(t)=2^{\frac{t}{50}}N(0)$

Also müsste das mit t-1 pro künftiger Generation auch hinkommen. ALso hätte ich dann eine Summe von k=2 bis t (oder k= 1 bis t-1?) von 400*exp(ln2/50*t).

Das kannst du dir sicher auch selbst beantworten. Ab welchem Jahr kommen denn zum ersten mal 400 hinzu? Schreib' dir einfach mal diese Summe für die ersten 3 Jahre oder so auf, dann erkennst du von alleine, wie sie ausschaut.
Tipp: $\sum\limits_{k=0}^{N}z^k = \frac{1-z^{N+1}}{1-z}$ (achte auf die Summationsgrenzen!)

Gesucht war einfach die Lösung der DGL

$frac{d}{}dt N(t) = \alpha N(t) + 400$ mit passend gewählter Konstante

C14

text__ schrieb:

Gesucht war einfach die Lösung der DGL

$frac{d}{}dt N(t) = \alpha N(t) + 400$ mit passend gewählter Konstante

Schön, dass dir jetzt klar ist, wie man auf diese DGL kommt, die "passende Konstante" bestimmt und die DGL löst.
Und das ganz ohne die Postings hier zu beachten. Muss ein guter Übungsleiter sein!