Verständnis der formalen Schreibweise von Mengen

Hallo,

ich bin frischgebackener Erstsemesterstudent und hänge derzeit etwas an den Formalien der Mengenlehre fest. Mit dem Vorlesungsskript komme ich hier leider auch nicht weiter.

$A := \{X|X \subseteq \{1,2,3\}\}$

B := \{Y \in A | Für\ alle\ x,y \in Y\ gilt\ x+y\ ist\ gerade \}
C := \{Y \in A | Für\ alle\ x,y \in Y\ gilt\ x+y\ ist\ nicht\ gerade \}

Es ist nun meine Aufgabe die Mengen A B & C explizit zu bestimmen. Ich bin jetzt allerdings bei der Formulierung nicht sicher.

Ist A nun eine Menge von Mengen ( $A := \{ \{ 1, 2, 3 \} \}$ ) oder enthält A die Elemente 1,2,3 direkt ( $A := \{ 1, 2, 3\}$ )? Ausgehend von B/C würde ich ersteres vermuten, da Y Element von A sein soll und x/y wiederum Elemente von Y sind. Liege ich da jetzt richtig?

Weiterhin irritiert mich der Teil C. Egal welchen Inhalt ich für C wählen würde, könnte ich doch nie folgern, dass x+y für alle Elemente aus Y ungerade ist, oder? (Im Falle von x = y ist das Ergebnis ja immer Gerade.) Folgt daher, dass C eine leere Menge darstellt?

Grüße
Jakob

volkard

Bashar

Jakob_2014 schrieb:

Ist A nun eine Menge von Mengen ( $A := \{ \{ 1, 2, 3 \} \}$ ) oder enthält A die Elemente 1,2,3 direkt ( $A := \{ 1, 2, 3\}$ )? Ausgehend von B/C würde ich ersteres vermuten, da Y Element von A sein soll und x/y wiederum Elemente von Y sind. Liege ich da jetzt richtig?

Die Beschreibung von A lautet ausgesprochen "Menge aller X, die die Eigenschaft 'X ist Teilmenge von {1,2,3}' haben". Das sollte die Frage beantworten.

Weiterhin irritiert mich der Teil C. Egal welchen Inhalt ich für C wählen würde, könnte ich doch nie folgern, dass x+y für alle Elemente aus Y ungerade ist, oder? (Im Falle von x = y ist das Ergebnis ja immer Gerade.) Folgt daher, dass C eine leere Menge darstellt?

Gut beobachtet, der Schluss ist dennoch nicht richtig, denn es gibt eine Teilmenge von A, für die die Bedingung wahr ist. Diese ist in C enthalten.

Ah! Jetzt verstehe ich den Teil mit "X ist Teilmenge von {1,2,3}". So ist das natürlich auch Sinnvoller als eine Menge die nur eine einzelne weitere Menge enthält. Danke schonmal soweit.

Also gilt:
$A := \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\} \}$
folglich also für B:
$B := \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,3\} \}$

Bei C stehe ich allerdings auf dem Schlauch. Unabhängig davon welche Teilmengen aus A ich in C nutze, erhalte ich doch immer mindestens eine Möglichkeit in der die Bedingung "x+y ist ungerade" nicht erfüllt ist. Oder wird durch die Schreibweise $x,y \in Y$ impliziert dass x ungleich y gilt?

Bashar

Jakob_2014 schrieb:

Bei C stehe ich allerdings auf dem Schlauch. Unabhängig davon welche Teilmengen aus A ich in C nutze, erhalte ich doch immer mindestens eine Möglichkeit in der die Bedingung "x+y ist ungerade" nicht erfüllt ist. Oder wird durch die Schreibweise $x,y \in Y$ impliziert dass x ungleich y gilt?

Nein, das wird dadurch nicht impliziert. Die Bedingung "Für alle x,y in Y gilt..." wäre aber wahr, wenn es überhaupt keine x,y in Y gäbe...

Natürlich. Und die leere Menge ist ja wiederum Teilmenge einer jeden Menge und ist daher auch in A.

Jetzt wird mir alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe!