rotation zwischen zwei ähnlichen matrizen bestimmen

[otze]

Ich sitze gerade vor folgendem Problem:

ICh habe 2 symmtrisch positive Matrizen $C$ und $S$ die ähnlich zueinander sind. Das bedeutet, dass es eine orthogonale Matrix $Q$ gibt so dass $C=Q^TSQ$. Ich kenne $Q$ nicht, würde das aber gerne ändern. Ich weiß, dass man die Lösung erhalten kann, indem man $C$ und $S$ eigenzerlegt, aber das ist mir ein wenig teuer.

Für mich würde auch eine schwächere Bedingung reichen: Für einen Vektor $x$ suche ich eine Matrix $V$ so dass $x^TV^TSV=xC$, mir reicht also für diesen Vektor irgendeine orthogonale Matrix zu finden, die das korrigiert. Aber bislang habe ich keinen großen Erfolg. Mein erster Ansatz war eine Householder-Transformation anzusetzen also $V=I-2ww^T$ und dann
$\min_V ||x^TV^TSV-xC||^2$ zu lösen, aber dann lande ich bei einem Polynom 4. grades für das ich keine Lösung finde(und der gradient ist relativ ekelhaft zu berechnen).

Ich suche gerade nach möglichen Lösungen oder Schlagwörtern. Irgendwelche Ideen?