ganzabgeschlossener Ring

[dsffds]

Sollte trivial sein:

Sei R ein Integritätsring und S eine ganzabgeschlossene Ringerweiterung im Quotientenring Quot(R) von R so, dass Quot(S) = Quot(R) ist. Ist dann S der ganze Abschluss von R in Quot(R)?

[sdffds]

Sei x \in Quot(R) ganz über R, also x im ganzen Abschluss von R in Quot(R). Dann ist zu zeigen: x \in S. Hier sollte S ganzabgeschlossen eingehen. S ganzabgeschlossen bedeutet: Jedes Element von Quot(S) (= Quot(R)) ganz über S liegt bereits in S. x ist ganz über R, also auch ganz über S, da S eine Ringerweiterung von R. Also ist x \in S.

Sei umgekehrt x \in S. Dann ist zu zeigen: x liegt im ganzen Abschluss von R in Quot(R).

[dfssfsd]

sdffds schrieb:

Sei umgekehrt x \in S. Dann ist zu zeigen: x liegt im ganzen Abschluss von R in Quot(R).

Das würde aus "x \in S \subseteq Quot(S) = Quot(R) ist ganz über R" folgen.

[sdfdfs]

dfssfsd schrieb:

sdffds schrieb:

Sei umgekehrt x \in S. Dann ist zu zeigen: x liegt im ganzen Abschluss von R in Quot(R).

Das würde aus "x \in S \subseteq Quot(S) = Quot(R) ist ganz über R" folgen.

OK: Ist falsch: Sei S = Quot(R).