Differentiell kleine Größen

Hallo Community,
an der Uni werden häufig differentiell kleine Variablen wie z.B. dA (infinitiv kleines Flächenelemen) verwendet. Über Integration und Differentation werden diese dann umgeformt, allerdings habe ich nie wirklich verstanden warum man das darf (studiere Elektrotechnik).
Beispiel: Ich möchte die Fläche unter der Funktion y = f(x) = x^2 berechnen.
$dA = y * dx <=> A = \int f(x) dx = 1/3 * x^3 + C$
Soweit so gut. Aber anders herum funktioniert dies nicht.
$dA = dy * x <=> A = \int x * dy = \int sqrt(y) * dy = 2/3 * y^{3/2} +C = 2/3 * x^3 +C$
Warum funktioniert das nicht?
Grüße _self

Ich verstehe nicht, was du da machst.

Flächenelemente benutzt man, wie der Name nahelegt, im 2-dimensionalen. Deine Funktion ist aber eindimensional. Die Fläche unter der Kurve bei deiner Funktion ist ein ganz normales Integral.

Flächenelemente braucht man erst bei so etwas wie z=f(x, y)=x²+y³.

Ausserdem ist $\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ .

Mal dir mal ein Bild, du bestimmst unterschiedliche Flächen. Bei Versuch eins die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse, bei Versuch zwei die Fläche zwischen Kurve und y-Achse.

Jodocus

Mathematisch ist das auch alles nicht korrekt mit dem Differential-Gerechne. Rigoros wird es erst, wenn man Differentiale als Pfaffsche Formen auffasst (d.h. das Differential $df$ ist eine Funktion, die jedem Punkt $x$ die Linearisierung der Funktion $f$ zuordnet, also die lineare Abbildung, welche tangential an der Funktion anliegt). Das Differential weist also jedem Punkt eine lineare Funktion zu und ist selber keine "unendliche kleine" Größe, was auch immer das heißen mag.

Im mehrdimensionalen ist die darstellende Matrix dieser linearen Abbildungen am jeweiligen Punkt in der kanonischen Basis die Jacobimatrix. Mit dieser Definition kann auch das totale Differential von einem "Abuse of Notation" hin zu einer exakten Größe definiert werden.
Wenn's dich interessiert, nimm dir ein Analysis II/III-Skript für Mathematik-Bachelor zu Hand. Wenn, wie es E-Techniker und Physiker meist machen, mit Differentialen rumgespielt wird, dann sollten sie eigentlich wissen, dass und wie es rigoros geht und warum es trotzdem manchmal funktioniert.

Mal dir mal ein Bild, du bestimmst unterschiedliche Flächen. Bei Versuch eins die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse, bei Versuch zwei die Fläche zwischen Kurve und y-Achse.

Ah, ok. Da hätte ich eigentlich auch selber drauf kommen können.

Mathematisch ist das auch alles nicht korrekt mit dem Differential-Gerechne.

Ok, das ergibt Sinn.

Wenn's dich interessiert, nimm dir ein Analysis II/III-Skript für Mathematik-Bachelor zu Hand. Wenn, wie es E-Techniker und Physiker meist machen, mit Differentialen rumgespielt wird, dann sollten sie eigentlich wissen, dass und wie es rigoros geht und warum es trotzdem manchmal funktioniert.

Vielleicht setze ich mich mal in den Semesterferien an so ein Buch, aber momentan reicht mir der normale Studieninhalt aus.

Was mich persönlich irgendwie stört, ist dass offenbar ständig Vereinfachungen in den Vorlesungen angenommen werden, aber nie direkt darauf hingewiesen wird. Einfach mal sagen "Dass hier ist jetzt so nicht ganz korrekt" würde mir schon reichen. Das verwirrt einfach, aber dafür könnt ihr ja auch nichts...