Wärmeleitungsgleichung - parabolisch?

Ich arbeite mich gerade in PDEs ein und stutze ein wenig bei der Charakterisierung der Wärmeleitungsgleichung.

$\dfrac{\partial u}{\partial t} - \alpha \left( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) = 0$

im zweidimensionalen Fall, wenn ich nicht da schon einen Fehler mache.

Für Charakterisierung einer PDE zweiter Ordnung:

$A u_{xx} + B u_{xy} + C u_{yy} = 0$

soll ja für parabolisch gelten:

$B^2 - 4AC = 0$

Die erste Frage, die mich da quält, ist wo die zeitliche Ableitung $u_t$ geblieben ist.

Als nächstes versuche ich das ganze mal auszurechnen:

kein gemischter Term, also $B = 0$

$A = C = -\alpha$

Demnach würde ich hier sagen, dass die Gleichung nicht parabolisch ist...

Kann mir das jemand erklären

SeppJ

niederling schrieb:

Die erste Frage, die mich da quält, ist wo die zeitliche Ableitung $u_t$ geblieben ist.

Die hast du einfach weg gelassen, was der Fehler ist. Wenn du es zweidimensionale Wärmeleitungsgleichung nennst, so bezieht sich das nur auf den physikalischen Raum. Mathematisch gesehen ist es aber eine Gleichung von drei Variablen, da t, x und y allesamt gleichwertig sind.

Wie kann man dann bei einer solchen zeitabhängigen PDE die Klassifikation durchführen?

Gibt es dafür eine schöne einfache Regel, oder muss man tatsächlich rechnen?

SeppJ

niederling schrieb:

Wie kann man dann bei einer solchen zeitabhängigen PDE die Klassifikation durchführen?

Genauso, wie sonst auch. Die Interpretation als Zeit und Raum interessiert die Mathematik nicht.

Gibt es dafür eine schöne einfache Regel, oder muss man tatsächlich rechnen?

Ja! Die, die du bereits benutzt hast. Du musst bloß alle Variablen in Betracht ziehen und keine unterschlagen.

Ich komm mir jetzt richtig dumm vor.

Die einzige Art auf die ich deine Antwort interpretieren kann, ist es den Laplace-Operator auch auf t loslassen müsste. Damit erhlte ich dann noch einen u_tt Term.

Aber in jeder Quelle die ich finde, kommt das hier raus:

u_t(t, x, y) = c∆u(t, x, y) = c(u_xx(t, x, y) + u_yy(t, x, y))

was wieder dem entspricht, was ich als erstes hatte.

Da hier kein Term mit einer zweiten ABleitung, die t beinhaltet, vorkommt, komme ich wieder zum Ergebnis, dass das nicht parabolisch wäre.

Könntest du so freundlich sein und das ganze mal vorrechnen, wie man auf das parabolisch kommt?

SeppJ

niederling schrieb:

Da hier kein Term mit einer zweiten ABleitung, die t beinhaltet,

Richtig.

vorkommt, komme ich wieder zum Ergebnis, dass das nicht parabolisch wäre.

Wie kommst du dann da drauf? Dein Kriterium muss schon eines für eine Gleichung mit drei Variablen sein. Und dann ist diese fehlende zweite Ableitung nach t eben genau der Grund, wieso man so einfach sieht, dass das parabolisch ist.

Könntest du so freundlich sein und das ganze mal vorrechnen, wie man auf das parabolisch kommt?

Ich mach es mal 2D vor (also 1D Wärmegleichung), da ich dann direkt dein oben beschriebenes Kriterium für 2D übernehmen kann:

$\dfrac{\partial u}{\partial t} - \alpha \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$

Dann ist A = 0, B = 0, C = α. Somit B² - 4AC = 0. Kriterium erfüllt.