Warum sind x^2 + y^2 = z^2 (natürliche Zahlen) nie alles Primzahlen?

Erhard Henkes

Ich kam zufällig auf diese Ecke von der Sicht der Primzahlen:
Mit folgendem Programm ist mir etwas aufgefallen:

#include <cstdint>
#include <limits>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

void wait()
{
	cout << "Press any key" << endl;
	cin.clear();
	cin.ignore(numeric_limits<streamsize>::max(), '\n');
	cin.get();
}

bool IsPrime(uint64_t number)
{
	if (number<2)    return false;
	if (number == 2)   return true;
	if (number % 2 == 0) return false;

	for (uint64_t i = 3; i*i <= number; i += 2)
	{
		if (number%i == 0) return false;
	}
	return true;
}

int main()
{
	const uint64_t start = 1, limit = 1000000;
	uint64_t a, b;

	for (a = start; a <= limit; ++a)
	{
		for (b = a; b <= limit; ++b)
		{
				double z = sqrt(a*a + b*b);

				if ((z == (uint64_t)z) && IsPrime(a) && IsPrime(b) && IsPrime((uint64_t)z) )
				{
					cout << "a = " << a << " b = " << b << " z = " << z << endl;
					wait();
				}

		}
	}
	wait();	
}

Warum sind x^2 + y^2 = z^2 (alles natürliche Zahlen) nie alles Primzahlen?
Selbst für nur x und y findet man keine quadratischen Primzahlenpaare.

if ((z == (uint64_t)z) && IsPrime(a) && IsPrime(b)/* && IsPrime((uint64_t)z)*/ )

Haben die z, die Primzahlen sind und obige Forderung erfüllen, eine besondere Bedeutung, z.B. bei den Primzahlen?

if ((z == (uint64_t)z) && /*IsPrime(a) && IsPrime(b) &&*/ IsPrime((uint64_t)z) )

Warum sind x^2 + y^2 = z^2 (alles natürliche Zahlen) nie alles Primzahlen?

Aus Paritätsgründen müsste dann entweder x=2 oder y=2, und Quadratzahlen, die sich um 4 unterscheiden, gibt es halt nicht viele.

Erhard Henkes

Ja, klingt überzeugend.

Bleibt noch 3)

Bengo

Erhard Henkes schrieb:

Ja, klingt überzeugend.

Bleibt noch 3)

Spontan würde ich sagen, man kann das mit quadratischen Resten lösen. Das hier hilft vielleicht https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Symbol

Ne es gibt tatsächlich auch eine Tripel, in denen nur die ersten beiden prim sind.
Denn alle primitiven Tripel haben ein ungerade letze Zahl. (englishe wikipediaseite Pythagoras Tripel)

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_prime