Fehlerausgleich bei Matrix

Hallo,
ich soll bei folgender Matrix einen Fehlerausgleich nach Gauß machen, allerdings bekomme ich für $x$ zwei verschiedene Werte. Da stimmt doch schon die Matrix nicht oder habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Führen Sie bei dem folgenden linearen Gleichungssystem einen Fehlerausgleich nach dem Gaußschen Verfahren durch

I: $x - y + z = -2$

II: $-x + y + z = 0$

III: $2x - y - z = 1$

IV: $x + y + z = 1$

V: $2x + y + 3z = 0$

Meine zwei verschiedenen x-Werte:

III + IV: $3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

II + III: $x = 1$

Kann doch nicht gehen oder habe ich etwas nicht verstanden?

EDIT: Hm, ok, das scheint gewollt zu sein. Muss mich da mal genauer einarbeiten...

krümelkacker

"Fehlerausgleich nach Gauß" klingt so, als ob du das im Sinne der "kleinsten Fehlerquadrate" lösen sollst und zwar über das Gaußsche Normalgleichungssystem.

Schreib dazu das Gleichungssystem über eine Matrix, also $A x = b$ , wobei x hier der Vektor mit den drei gesuchten Unbekannten ist.

Der Gauß-Ansatz ist jetzt der, die Ableitung (nach x) von

$\|A x - b\|^2$

gleich 0 zu setzen und damit das Minimum zu finden. Das führt dich dann zu dem oben genannten "Normalgleichungssystem":

$A^T A x = A^T b$

(3 Gleichungen mit 3 Unbekannten in deinem Fall. A^T A ist übrigens immer symmetrisch und (semi-)positiv definit, hat also keine negativen Eigenwerte)

Warnung: Für viele ernsthafte Anwendungen ist dieser Weg (über das NGLS) numerisch ungeschickt weil A hier im Quadrat auftaucht und damit auch die Konditionszahl quadriert wird. Die Konditionszahl sagt dir im Wesentlichen, wie stark im schlimmsten Fall Rauschen/Rundungsfehler verstärkt werden. Bei schlecht konditionierten Problemen sollte man das also anders lösen, z.B. über eine QR-Zerlegung von A. Du kannst A nämlich als Produkt einer orthogonalen Matrix (Q) und einer rechten Dreiecksmatrix (R) schreiben. Da Q orthogonal ist, gilt $\|Q t\| = \|t\|$ . Q ändert also nichts an der Norm. Mit so einer Zerlegung kann man die Lösung über $R x = Q^T b$ finden. Die Kondition von R ist dieselbe wie A. Darum ist dieser Weg numerisch stabiler.

Danke, die Aufgabe habe ich schon gelöst. Numerische Stabilität war in dieser Aufgabenstellung nicht gefordert.