Fehlerabschätzung

Hallo an alle,

ich habe die Funktion $sin(\frac{\pi}{6} x)$ mit $p(x) = \frac{0,05484}{\pi} x$ in dem Bereich [0, \frac{2}{3} \pi] interpoliert.

Nun soll ich zeigen, dass folgende Fehlerabschätzung gilt in [-3, 3]:

$|sin(\frac{\pi}{6} x) - p(x)| \leq (\frac{\pi}{6})^5$

Würde es ausreichen einfach die größte Betragszahl (3) einzusetzen und zu zeigen, dass die Bedingung dort zutrifft? Da p(x) eine ungerade lineare Funktion ist, würde das dementsprechend auch für die negative Zahl (-3) gelten.

Ich frage mich aber, ob ich damit gezeigt habe, dass das für alle Bereiche zwischen -3 und 3 gilt.

Weiß jemand weiter?

krümelkacker

ShadowClone schrieb:

ich habe die Funktion $sin(\frac{\pi}{6} x)$ mit $p(x) = \frac{0,05484}{\pi} x$ in dem Bereich [0, \frac{2}{3} \pi] interpoliert.

Das wäre eine echt schlechte "Interpolation" (du meinst sicher "approximiert"). Guck nochmal nach, ob du die Steigung von p richtig bestimmt hast. Lass Dir doch die Kurven der zwei Funktionen doch mal anzeigen.

ShadowClone schrieb:

Nun soll ich zeigen, dass folgende Fehlerabschätzung gilt in [-3, 3]:

$|sin(\frac{\pi}{6} x) - p(x)| \leq (\frac{\pi}{6})^5$

Gegenbeispiel: x=2. Es stimmt also gar nicht.

ShadowClone schrieb:

Würde es ausreichen einfach die größte Betragszahl (3) einzusetzen und zu zeigen, dass die Bedingung dort zutrifft?

Nein.

ShadowClone schrieb:

Da p(x) eine ungerade lineare Funktion ist, würde das dementsprechend auch für die negative Zahl (-3) gelten.

Die Symmetrie sin(x) = -sin(-x) und p(x) = -p(-x) reduziert das Problem auf das Intervall [0, 3]. Wenn du es für [0, 3] zeigen kannst, gilt es automatisch auch für [-3, 3]. So kann man zumindest argumentieren, ja.

ShadowClone schrieb:

Ich frage mich aber, ob ich damit gezeigt habe, dass das für alle Bereiche zwischen -3 und 3 gilt.

Nicht wirklich. Es würde noch ein Argument dafür fehlen, dass bei 3 der Fehler maximal ist. Wenn du zeigen kannst, dass der Fehler irgendwo maximal ist und du den Fehler da bestimmen kannst, wärst Du quasi fertig.

krümelkacker schrieb:

ShadowClone schrieb:

ich habe die Funktion $sin(\frac{\pi}{6} x)$ mit $p(x) = \frac{0,05484}{\pi} x$ in dem Bereich [0, \frac{2}{3} \pi] interpoliert.

Das wäre eine echt schlechte "Interpolation" (du meinst sicher "approximiert"). Guck nochmal nach, ob du die Steigung von p richtig bestimmt hast. Lass Dir doch die Kurven der zwei Funktionen doch mal anzeigen.

Ich habe das Interpolationspolynom nach Newton aufgestellt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Newtonscher_Algorithmus

ShadowClone schrieb:

Nun soll ich zeigen, dass folgende Fehlerabschätzung gilt in [-3, 3]:

$|sin(\frac{\pi}{6} x) - p(x)| \leq (\frac{\pi}{6})^5$

Gegenbeispiel: x=2. Es stimmt also gar nicht.

Wieso nicht?

$|sin(2) - 2 \frac{0,05484}{\pi}| = 0,000012732$

$(\frac{\pi}{6})^5 = 0,039354$

ShadowClone schrieb:

Ich frage mich aber, ob ich damit gezeigt habe, dass das für alle Bereiche zwischen -3 und 3 gilt.

Nicht wirklich. Es würde noch ein Argument dafür fehlen, dass bei 3 der Fehler maximal ist. Wenn du zeigen kannst, dass der Fehler irgendwo maximal ist und du den Fehler da bestimmen kannst, wärst Du quasi fertig.

Das wäre ein Ansatz, danke!

EDIT: Hm, vll. habe ich die Aufgabe nicht ganz richtig umgesetzt, da x = 2 für $f(x) \Rightarrow 2*\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

krümelkacker

ShadowClone schrieb:

ShadowClone schrieb:

Nun soll ich zeigen, dass folgende Fehlerabschätzung gilt in [-3, 3]:

$|sin(\frac{\pi}{6} x) - p(x)| \leq (\frac{\pi}{6})^5$

Gegenbeispiel: x=2. Es stimmt also gar nicht.

Wieso nicht?

$|sin(2) - 2 \frac{0,05484}{\pi}| = 0,000012732$

$(\frac{\pi}{6})^5 = 0,039354$

1. Du hast wohl vergessen, deinen Taschenrechner von Grad auf Bogenmaß umzustellen.

2. Du hast das pi/6 beim Sinus vergessen. Wenn ich für x 2 einsetze, bekomme ich

sin(pi/6*x) = 0.866025 (entspricht Sinus von 60°)

0.05484/pi*x = 0.034912

Die Differenz daraus ist etwa 0.831, also viel zu groß.

Dass ich die X-Werte falsch abgebildet habe, sehe ich ein, aber wieso ist es relevant, ob ich jetzt in Bogenmaß oder Grad rechne?