inverses Kurvenintegral 2

wellenkreis

Hallo,

in https://www.c-plusplus.net/forum/223566-full konnte die Normalparabel numerisch (mit dem Newtonverfahren) nach der Bogenlänge parametrisiert werden.

http://www.upload-pictures.de/bild.php/57664,normalparametrisierteparabel8LEKI.png

Es steht dass im Bereich starker Krümmung mehr Punkte vorhanden sind.

.filmor schrieb:

Aber „isomorph“ ist auch etwas zu stark. Hier relevant ist ja, wie Jester schon sagte, dass sie nicht homöomorph sind. Jeder Isomorphismus ist auch ein Homöomorphismus (sogar ein Diffeomorphismus denke ich) aber nicht andersherum.

titan99 schrieb:

Also die Bezierkurve berechne ich eigentlich 2 oder 3-Dimensional, und habe dazu noch 2 Parallele Kurven (http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve).
Die Parallelen Kurven sind aber ziemlich unregelmässig, vorallem bei grosser Krümmung. Und ich dachte es sei sowieso besser Konstante Abstände zu haben, weil daraus nachher Flächen werden.

Warum? Mit dem normalen Verfahren hast du doch mehr Punkte im Bereich starker Krümmung wenn ich mich nicht täusche, das erscheint mir schon recht praktisch für weitere Berechnungen. Berechnest du die Fläche die von der Kurve und ihrer parallelen Kurve umrandet wird? Das ließe sich doch sicher irgendwie abkürzen …

Die Bogenlänge (Kurvenintegral) der Normalparabel

$\frac{\mathrm{asinh}\left( 2\cdot x\right) +2\cdot x\cdot \sqrt{4\cdot {{x}^{2}}+1}}{4}$

und das unbestimmte Integral des Krümmungsradius der Normalparabel

$\frac{\sqrt{4\cdot {{x}^{2}}+1}\cdot \left( 16\cdot {{x}^{3}}-6\cdot x\right) -5\cdot \mathrm{asinh}\left( 2\cdot x\right) }{32}$

Meine Frage ist nun, ob jemand weiss wie man herausfinden kann, warum die zwei Funktionen voneinander abweichen?

Edit:
Bei der Funktion $\frac{{{x}^{2}}}{2}$ sind Bogenlänge und Integral des Krümmungsradius identisch $\frac{\mathrm{asinh}\left( x\right) +x\cdot \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2}$ weil die 2. Ableitung in dem Fall (die in der Formel für die Krümmung vorkommt) 1 ergibt.

Vielen Dank

Im Wikipedia-Artikel über Krümmung findet sich ein Hinweis über den Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Krümmung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung