Grenzwertmengen von Teilfolgen

[Columbo]

Ist es möglich, eine reelle Folge zu konstruieren, für welche die Menge der Grenzwerte aller konvergierenden Teilfolgen genau $\mathbb{Q}$ ist? Mir scheint, dass jede derartige Folge auch Teilfolgen enthält, die gegen irrationale Zahlen konvergieren, aber wie kann man das formal aufzeigen?

[Jester]

Ne, das sollte nicht gehen: sei x eine Zahl in R \ Q, dann gibt es eine Folge (a_n) in Q, die gegen x konvergiert. Da jedes der a_i in Q ist, finde ich eine Teilfolge der ursprünglichen Folge, die gegen a_i konvergiert, das heißt, ich kann beliebig nah an a_i rankommen, und das egal wie weit hinten ich in der ursprünglichen Folge schon bin, also kriege ich eine neue Folge (a_k'), die gegen x konvergiert und eine Teilfolge der ursprünglichen Folge ist. Also ist x auch in der Grenzwertmenge. Tatsächlich folgt also, dass die Grenzwertmenge dann ganz R sein muss.

[Columbo]

Das passt, denn der zweite Teil der Aufgabe fragt nach einer Folge für welche die Grenzwertmenge $\mathbb{R}$ ist. Danke!