Konvergenz einer Folge

Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter: http://up.picr.de/27952649qo.jpg
Wer kann mir einen Tip geben?

Gruß
brudah

SG1

Beweise, dass die Folge positiv und monoton fallend ist.

ja, rein logisch durch scharfes hinsehen kann man feststellen, dass die folgenglieder immer kleiner werden und positiv bleiben.
mein problem ist, dass a₁ beliebig viele werte annehmen kann und dadurch auch das folgende glied a₂, etc.
für a₂ kann ich z.b. zeigen, dass es zwischen 0 und 3/8 liegt

a_1\in(0,\frac{1}{2})\\ a_{2min}=\lim\limits_{a\_1 \to 0}\left (a\_1-\frac{1}{2}a\_1^2 \right ) = \lim\limits\_{n \to \infty }\left (\left( 0+\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left( 0+\frac{1}{n} \right )^2 \right ) = 0 \\ a_{2max}=\lim\limits_{a\_1 \to \frac{1}{2}}\left (a\_1-\frac{1}{2}a_1^2 \right )= \\ \lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )^2 \right )= \\ \lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right )\right )= \\ \lim\limits_{n \to \infty}\left (\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right )\right )= \frac{3}{8}\\

also

$a_2\in(0,\frac{3}{8})$

für einen beweis ist das wohl zu wenig, wie schreibe ich das für alle möglichkeiten auf?

Versuch es in einem anderen, richtigen Matheforum, hier im Club der lahmen und altersschwachen Chill-Potatoes wirst du nicht viel Glück haben!
MfG

Jodocus

brudah schrieb:

für einen beweis ist das wohl zu wenig, wie schreibe ich das für alle möglichkeiten auf?

Es ist weder notwendig, noch weise, eine explizite Darstellung der $a_n$ s zu suchen oder den Grenzwert berechnen. Höre auf SG1's Tipp, d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge ~~genau dann~~ konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist. Zeige hierfür also, dass $a_{n+1}<a_n$ und $a_n>0$ $\forall n\ge 1$ , dann bist du fertig. Nutze z.B. Induktion.

Edit: Blöder Fehler unterlaufen, war mit dem Kopf woanders. Wie aber floorball schon sagte (und wie ich es auch meinte), genügt ja auch die eine Implikation in die Hinrichtung.

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

floorball

zufallswert schrieb:

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.

floorball schrieb:

zufallswert schrieb:

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.

Aber höchstens eine Richtung. Gegenbeispiel (-1)^n/n: Die Folge konvergiert, und ist zwar beschränkt, aber sicher nicht monoton.

floorball

Einbahnstraße schrieb:

floorball schrieb:

zufallswert schrieb:

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Dürfte relativ einfach aus dem Satz von Bolzano Weierstrass zu folgern sein.

Aber höchstens eine Richtung. Gegenbeispiel (-1)^n/n: Die Folge konvergiert, und ist zwar beschränkt, aber sicher nicht monoton.

Da hast du natürlich recht. In diesem konkreten Beispiel reicht einem allerdings das monoton beschränkt ==> konvergiert.

Danke für die Antworten!

zufallswert schrieb:

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Diesen Beweis gibt es in der Tag.
MfG

Jodocus

brrudah schrieb:

Danke für die Antworten!

zufallswert schrieb:

Jodocus schrieb:

d.h. benutze das Lemma, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Auf einen Beweis dieses Lemmas wäre ich gespannt.

Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Das habe ich eigentlich auch gemeint, auch wenn ich es leider nicht geschrieben habe.