Determinante von 4x4-Matrix berechnen

[Determiannte]

Wie würdet ihr am schnellsten die Determinante von $\begin{pmatrix}a & b & c & d\\ -b & a & -d & c\\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a\end{pmatrix}$ ausrechnen? Das Ergebnis ist $(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$.

[Gast]

Meinst du damit: "Was wäre der kürzeste Beweis, um deine Formel zu beweisen?" Ansonsten geht es wohl kaum schneller, als die von die angegebene Formel zu benutzen.

[Bitte ein Bit]

Unter der Annahme dass du zeigen sollst, dass deine Matrix die angegebnene Determinante hat, hilfst nur eins: Augen zu und durch.

Ich würde es probieren die Matrix in Dreiecksform zu bringen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelementen.

Wird wohl aber etwas unübersichtlich...

[krümelkacker]

Tipp: Man sieht relativ schnell dass die Matrix orthogonal ist. Das ist praktisch, weil det(A) = sqrt(det(A^T*A)) gilt und A^T*A eine Diagonalmatrix ist, wenn A orthogonal ist. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

[Ein ehemaliger Benutzer]

laplacescher entwicklungssatz?

[floorball]

Mathematica

[Determiannte]

krümelkacker schrieb:

Tipp: Man sieht relativ schnell dass die Matrix orthogonal ist. Das ist praktisch, weil det(A) = sqrt(det(A^T*A)) gilt und A^T*A eine Diagonalmatrix ist, wenn A orthogonal ist. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

Danke, das ist die gesuchte einfache Lösung.