es gibt kein Polynom
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Warum gibt es kein Polynom q(x) \in \mathbb{R}[x], so dass \int_{-1}^1q(x)p(x)dx = p(0) \quad\forall p \in \mathbb{R}[x]?
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Hast du vielleicht eine Nebenbedingung bzgl. geraden/ungeraden Funktionen vergessen zu erwähnen?
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Zunächst einmal sollte mein Thread nach Mathematik verschoben werden.
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Wenn man sich auf Polynome vom Grad <= n beschränkt, gibt es so ein eindeutiges q_n vom Grad <= n. Wenn man jetzt noch zeigen könnte, dass der Grad von q_n genau n ist, wäre man fertig.
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Dieser Thread wurde von Moderator/in nachtfeuer aus dem Forum Rund um die Programmierung in das Forum Mathematik und Physik verschoben.
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linalg schrieb:
Wenn man sich auf Polynome vom Grad <= n beschränkt, gibt es so ein eindeutiges q_n vom Grad <= n. Wenn man jetzt noch zeigen könnte, dass der Grad von q_n genau n ist, wäre man fertig.
Das sollte sich doch zeigen lassen.
Schau dir für gerades n p und q in der Legendre-Polynom-Basis (https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom) an.
Wenn q nicht vom Grad n ist, ist auch die P_n Komponente 0. Dann ist der Wert des Integrals aber unabhängig von der P_n-Komponente in p.
Die beeinflusst aber p(0), da P_n(0) != 0. Also kann die Gleichung nicht gelten.
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Danke!
Geht das auch elementarer?
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Man könnte z.B. auch argumentieren, dass aus p(0) = <p,q> mit Cauchy-Schwarz folgt:
p(0) / |p| <= |q|
Das kann aber nicht für jedes Polynom p sein.
Z.B. kann man sich eine Dreiecksfunktion f basteln mit |f| sehr klein aber f(0) = 1 und die über eine Polynomfolge p_n in Supremumsnorm und damit auch in L^2([-1,1]) approximieren,
d.h. man bekommt ein Polynom, das obige Ungleichung verletzt.
Ist aber auch nicht wirklich elementarer.
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Danke, die Lösung gefällt mir!