Schlecht tarierte Streckentaucherin / zusätzlicher Energieaufwand

[Kung-Fused]

Eine Streckentaucherin taucht entlang einer Bahn im Schwimmbad, ungefähr wie hier gezeigt:
https://www.youtube.com/watch?v=W8seJCeXF24

Sie ist um das Gewicht $m$ zu schlecht austariert und muss deswegen den Auftrieb oder Abtrieb $F=|mg|$ während des Tauchgangs ausgleichen. Sie taucht die Strecke $s$ in der Zeit $t$

Die Frage ist nun, was die minimale zusätzliche Energie ist und die Leistung, mit der die Taucherin zusätzlich belastet ist, weil sie nicht optimal austariert ist. Andere Faktoren und Wirkungsgrad sollen nicht berücksichtigt werden.

Mein erster naiver Ansatz war einfach Kraft mal Weg zu rechnen und für die Leistung das ganze durch die Zeit zu teilen. Dann ist mir aber aufgefallen, dass man das gar nicht machen kann, weil die Kraft genau senkrecht zu ihrem Weg steht und man somit $W=|F|\dot |s|\cos{\frac{\pi}{2}}=0$ bekäme.

Dann dachte ich, man könnte es über die Wirkung ausrechnen, die eine skalare Größe ist. Und als Impuls mal Weglänge definiert ist. Also käme ich auf $|p||s|=S$ (groß S für Wirkung). Wobei $dp=Fdt\Leftrightarrow p=Ft$. Und damit dann $W=\frac{S}{t}=\frac{ps}{t}=\frac{Fts}{t}=Fs$ hätte. Was aber wieder wie der erste Ansatz aussieht.

Wie macht man es richtig?

[Jodocus]

Hallo!

Mach einfach einen Vergleich: wie viel Energie braucht die Taucherin für eine Strecke, wenn sie vollkommen austariert wäre? Bzw. wie viel Kraft (betragsmäßig) kann sie insgesamt aufbringen? Wenn du das weißt, so kennst du eine Kathete und eine Hypothenuse im Vektordiagram von Auf- und Antriebskraft. Berechne daraus die Kraft, die sie für den Antrieb übrig hat. Multipliziere diese Kraft mit der Soll-Geschwindigkeit und ziehe das Ergebnis vom voll austarierten Fall ab, so erhälst du die Leistung, die die Taucherin zusätzlich nur aufgrund ihres Auftriebes aufbringen muss, um mit der gleichen Geschwindigkeit voran zu kommen.

[Kung-Fused]

Das habe ich mir auch schon überlegt. Leider erscheint es mir nicht viel einfacher, weil es recht schwer ist das zu wissen. also dann müsste ich noch mehr Annahmen machen, wie z.B. den Strömungswiderstandkoeffizienten und die Fläche nach vorne abschätzen. Aber du hast recht, zur Not könnte ich das auch machen.

[Jodocus]

Um dieses Wissen kommst du m.E. nicht herum: angenommen, sie hat einen Auftrieb, aber ignoriert ihn vollkommen, bzw. gleich ihre Höhe erst ganz am Ende aus. Dann ist ihre Trajektorie quasi die eines waagerechten Wurfes. Wenn sie am Ende angekommen ist, so ist die Energie, die sie für den Auftrieb benötigt, gleich dem Produkt aus der Auftriebskraft und der Höhendifferenz zwischen Anfang und Ende. Wie groß diese Differenz ist, hängt aber ganz massiv davon ab, wie schnell sie waagerecht vorankommt. Je mehr Kraft sie hat (je höher also ihre stationäre Geschwindigkeit gegen die Reibung ist), desto weniger Weg muss sie vertikal zurücklegen. Dass man das so machen kann, liegt daran, dass sie sich in einem konservativen Kraftfeld bewegt: es ist für die Energie unerheblich, welchen Weg man zwischen zwei Punkten A und B wählt. Man erhält ihren "realen" Weg durch Approximation zurück: man wählt N Abschnitte, bei denen sie nur ihre Höhe ausgleicht und lässt N gegen unendlich gehen. Es bleibt dabei trotzdem dieselbe Energie.