Koordinatensystem Verständnisproblem

[ravenheart2]

Ich kann ein Referenzdreieck mit den Punkten
{ (0,0), (1,0),(0,1) } durch eine affin lineare Transformation Phi = Ax+b auf ein beliebiges Dreieck auf abbilden.

Soweit ich das verstehe, kann ich also sagen, dass ich ein lokales Koordinatensystem betrachte, indem ein Dreieck das Referenzdreieck ist und das mit Hilfe von Phi in globale Koordinaten umwandeln.

Nun habe ich eine Funktion f auf dem Referenzdreieck gegeben : 1-x-y
Wieso ist die Funktion im globalen System dann nicht die Verkettung von Phi und f?

[Bashar]

Was hältst du von $f\circ\Phi^{-1}$?

[ravenheart2]

@bashar Das ist korrekt, aber ich verstehe nicht, warum.
Nach meiner Logik müsste ich Phi auf alles aus den "lokalen" Koordinaten (also Referenzdreieck) loslassen, um daraus die globalen Koordianten zu erhalten. Mit den Eckpunkten stimmt das ja, aber wieso nicht mit der Funktion?

[Bashar]

@ravenheart2 Du hast "globale" Koordinaten $(x,y)$ eines Punktes $P$, und möchtest gerne $f$ an diesem Punkt auswerten, aber f arbeitet mit "lokalen" Koordinaten. Also schaltest du eine Funktion davor, die die lokalen Koordinaten von $P$ berechnet. Du hast $\Phi$ zur Verfügung, die genau das umgekehrte macht, sie transformiert die lokalen Koordinaten zu globalen. Also macht $\Phi^{-1}$ genau das, was du willst.

Soweit mein Versuch einer Erklärung. Eigentlich hab ich mir das so überlegt: Sei $D$ dieses Referenzdreieck, $\Phi : D\to D'$ diese affine Abbildung, und $f: D\to \mathbb{R}$ eine Funktion. Dann ist die einzige sinnvolle Komposition $f\circ \Phi^{-1} : D'\to \mathbb{R}$.