3. Ausnahmsweise mal ein Rätsel

Ausnahmsweise mal ein Rätsel

  • F

    @ChrisM:
    Um nichts zu verraten sage ich nur: Die Begründung ist auf jeden Fall falsch...

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  • N

    Headhunter schrieb:

    ... der Dämon umrundet einmal die Erde ...

    Ist doch ein guter Ansatz. Wenn wir davon ausgehen, das Zwerg und Dämon sich auf dem Planeten Erde in exakt entgegengesetzte Richtung bewegen, müssten sie doch wohl nach ca. 39960 Tagen bzw. im Laufe des 39961. Tages wieder aufeinandertreffen, also der Zwerg das andere Ende des Bandes erreichen. Oder so ähnlich ...

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  • F

    Wo steht denn was von der Erde? Wir befinden uns in den unendlichen Weiten des Universums 😉

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  • N

    Dann wäre zumindest interessant zu wissen, wer sich in welche Richtung bewegt und wer wo mit einem Bandende verbunden ist oder auch nicht. Sonst ist's nur Stochern im Nebel ...

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  • F

    Der Zwerg sitzt am Anfang des Bandes und will zum Ende (weil da ??? auf ihn wartet); der Dämon dehnt das Band gleichmäßig aus (d.h. er schnappt sich beide Enden und zieht bis das Band 1000 m länger ist).
    Also eigentlich ist alles klar!
    Ihr müßt halt mathematisch an die Sache rangehen...

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  • F

    Vielleicht mal zur Verdeutlichung:
    Am Ende des ersten Tages hat der Zwerg eine Strecke von 1 m zurückgelegt. In der Nacht kommt der böse Dämon und dehnt das Band um 1000 m
    => Länge des Bandes 2000 m, Länge der von dem Zwerg zurückgelegten Strecke 2 m (da das Band gleichmäßig gedehnt wird)...

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  • J

    Hallo!

    Ich hab ne Idee. Ist noch keine Lösung, aber man sicher was draus machen:

    Ich definier mir erstmal ein paar Symbole:

    Zum Beispiel die Gesamtlänge des Gummibandes:g(k) = k*1000, wobei k der Tag ist:

    1.Tag => 1000m 2. Tag 2000m etc.

    Jetzt stellen wir noch eine Folge für den restlichen zurückzulegenden Wert auf:

    r(k), wobei ich immer das Ende des Tages zähle, der Zwerg ist also schon gegangen. Das heißt, wenn wir das auf 0 kriegen isses gelaufen!
    Oder aber wir zeigen, daß es immer größer 0 sein muß, dann schafft der Zwerg es nicht.

    r(1) = 999, klar, der Zwerg hat einen Meter geschafft und macht jetzt der Pause, der Dämon ist am Zug:

    und jetzt hab ich für r(k+1) momentan leider nur ne Rekursionsformel anzubieten:

    neuer Restweg = alter Restweg        Anteil von Rest an Gesamt dehnt sich glm.   Zwerg läuft
r(k+1)        =     r(k)       +              r(k)/g(k)        *1000           - 1

    Da sich das Gummiband gleichmäßig dehnt dehnt sich der Rest, den er zu laufen hat immer weniger.

    Jetzt g(k) einsetzen

    => r(k+1) = r(k)+r(k)/k - 1

    So, vielleicht fällt dazu ja jemand was schlaues ein... vielleicht irgendeine Induktion, bin aber grad nicht sehr weit gekommen.

    MfG Jester

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  • F

    @Jester:
    Der Ansatz ist schon sehr gut! 👍
    Aber anstatt über Induktion zu gehen, versuche doch mal die rekursive in eine explizite Darstellung umzurechnen.
    (Womit ich nicht sagen will, daß es mit vollst. Induktion nicht geht)

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  • P

    na mal sehen.
    stand nach dem ersten zyklus:
    der zwerg ist bei 2 = 1* 2/1 von 2000 metern.
    stand nach dem zwoten zyklus:
    der zwerg ist bei 4.5 = (2+1)*3/2 von 3000 metern.
    stand nach dem dritten zyklus:
    der zwerg ist bei 7.33 = (4.5+1)*4/3 von 4000 metern.

    also erst bei 0.1% der strecke
    dann bei 0.15% der strecke
    dann bei 0.1833% der strecke.

    sei si der zurueckgelegte weg nach i zyklen.
    also s0=0, s1=2, s2=4.5, s3=7.33

    allgemein s(i+1) = (si+1)*(i+1)/i = (i+1)sum_{k=1}^i1/k,
    der nach dem i ten zyklus zurueckgelegte anteil ist ai = si/(i+1)/1000 = 0.001    sum_{k=1}^i1/k

    und da die harmonische reihe divergent ist, wird der zwerg siegen.

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  • J

    Jo hab ich grad gemacht:

    r(k+1)  = Prod[m=1..k] (1+1/m) * r1 >= Prod[m=1..k](1+1/k) * r1 = (1+1/k)^k * r1 -->e*r1

    Also im Grenzwert schafft er's nicht, hätt er's vorher mal geschafft, so wäre das Gummiband nur noch nach hinten gewachsen und der Abstand hätte nie mehr positiv werden können. Also auch nicht Grentwert positiv. Also kann er das Ende nicht erreichen.

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  • J

    @PeterTheMaster: Einer von uns beiden täuscht sich wohl

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  • F

    @PeterTheMaster:
    Jo, genau! Das ging ja fix.
    Und noch als allerletzte Frage: Nach wieviel Tagen kommt er an?

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  • P

    hehe, cool. hab jetzt keine lust zum fehler suchen. vielleicht sagt fubar ja, wer recht hat.

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  • J

    Hm, kann irgendwie keinen Fehler finden... sieht jemand was?
    Und für den letzten Aufgabenteil könnte ja mal jemand ein kleines Programm schreiben 😉
    Hab grad selber keine Lust zu...

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  • P

    also so ein programm selber zu schreiben duerfte wohl einigen aufwand bedeuten.

    nach 10^434 sind es 99.99%, nach 10^435 sind es 100.22%.
    das habe ich durch trial and error rausgefunden und genauer interessiert mich das nicht. wie loest man das geschlossen?
    aha, 10^435/9 ist bei 5 stellen genauigkeit 100.00. so, jetzt ist aber schluss.

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  • F
     

    r(k+1)  = Prod[m=1..k] (1+1/m) * r1 >= Prod[m=1..k](1+1/k) * r1 = (1+1/k)^k * r1 -->e*r1

    Da r1=999: r1*e>1000, oder sehe ich das jetzt falsch?

    Das mit dem Programm dürfte ohne größeren Aufwand nicht möglich sein, da 1/k doch sehr schnell sehr klein wird und unter die Machinengenauigkeit fällt.

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  • P

    aber seine r sind ja der rest. sollte also gegen null gehen oder negativ werden. irgendwo zwischendrin ist ein fehler.

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  • J

    Jo, müßte wohl eigentlich gegen -unendlich gehen, aber ich kann keinen Fehler finden... vielleicht sichtet ihr noch was.
    Ich weiß nicht, ob man das geschlossen lösen kann. ich glaub nicht, daß man da ne Chance hat ne geschlossene Formel zu finden.
    Einigen wir uns einfach darauf, daß es noch ne Weile dauert, selbst wenn er schon vor einiger Zeit angefangen hat.

    MfG Jester

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  • F

    Ups, ja genau 🙄

    10^434 bzw. 10^435 wäre auch meine Lösung gewesen. Die Frage ist nur, wie genau hier die Computeralgebrasysteme rechnen, oder wie bist du auf diese Zahlen gekommen?

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  • P

    ich nehme doch mal an, dass die computeralgebrasysteme genau rechnen. nur direkt zu loesen krieg ich nich hin.
    mit probieren kann man sich aber beliebig stellen erkaempfen.

    f(1.10611511026604935641*10^434)= 999. 999999999 999999999 999324612 929271260 353016287 864403076 640777013 365995482 286200558 259192467 875723433 472037924 249203506 063182546 949453808 009024832 233190159 880899764 661622655 002676611 098963642 525549014 295001151 179298296 395798366 067607366 387224579 095844311 359518803 638226789 755219481 125359179 115957152 643157819 253513382 375141032 433056630 199842170 701423107 513723077 563887586 012845997 097895091 791928994 786067653 493743890 933378538 767195928 225008608 445238336 395817136 178445459 475752397 648481816 321222093 149799939 823437258 821057709 363717348 457468992 110807908 545613802 663264564 478638838 513520477 323352433 997375997 810582121 155926287 820687137 270915126 058995753 963750045 933252403 553120730 110688953 365843877 030330222 418124999 350329686 722954490 423032410 359351464 875245018 749928023 549217756 239816650 248756266 994745179 453650626 764853210 673475261 590805014 420991500 950006319 984780533 580759965 636340290 135474562 614079315 999123411 489319356 528225665 408108001 995212103 662053729 778893498 074600082 172355253 388971253 6607697

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