[Mathe] Infimum

Walli

Hallo zusammen,
so wie ich das verstanden habe ist das Infimum die größte untere Schranke. Aber wenn ich folgenden Fall habe: inf{x > 0 : x² > 2} dann müsste das doch ein Wert größer als sqrt(2) sein. Wie zeige ich so etwas, bzw. wie behandle ich solch eine Aufgabe? Soll ich einfach folgendes hinschreiben?

inf{x > 0 : x² > 2} = sqrt(2) + epsilon , epsilon aus |R > 0

Euer ratloser,

Mastah

*aleph_0

MaSTaH schrieb:

Hallo zusammen,
so wie ich das verstanden habe ist das Infimum die größte untere Schranke. Aber wenn ich folgenden Fall habe: inf{x > 0 : x² > 2} dann müsste das doch ein Wert größer als sqrt(2) sein.

Warum > sqrt(2)? Es gilt doch für alle x \in M: x > sqrt(2), d.h. sqrt(2) ist eine untere Schranke.
Du musst noch zeigen, dass es die größte untere Schranke ist, indem du (inf' ist eine obere Schranke von M) => (inf' <= sqrt(2)) zeigst. Ich würde das durch Kontraposition beweisen.

fubar

inf{x > 0 : x² > 2} = sqrt(2)
Das Infimum muß ja nicht zwingend in der Menge drin sein (wäre es in der Menge enthalten, wäre es das Minimum :))
Nachtag: Übrigens gilt das nur für x aus IR, nicht aber für x aus IQ.
Nachtrag2: Für x aus IQ ex. kein Infimum.

Walli

Danke euch beiden.

@fubar: Klingt einleuchtend, aber wie zeige ich das?

@\aleph_0: Ich verstehe leider nicht alles von dem was du sagst, da ich erst im ersten Semester bin . Was verstehst du unter Kontraposition?

Btw.: Es wurde nicht explizit angegeben ob x in |R oder in |Q liegt. Kann ich dann einfach von |R ausgehen?

fubar

x² = 2 hat in IR die Lösungen -sqrt(2) und sqrt(2), wobei die erste natürlich sofort rausfällt.
sqrt(2)^2=2>2 = false => sqrt(2)=inf{x aus IR, x>0 und x^2 >2}

(Weiß nicht, ob das als Beweis ausreicht...)

Walli

Also, zu zeigen ist: inf{x > 0 : x² > 2} = sqrt(2)

x² > 2 | sqrt(...)
x > sqrt(2) | -sqrt(2) fällt weg, da x > 0

Hab ich damit schon das Infimum bewiesen? Kann ich mir nicht vorstellen. Das Problem ist, dass wir das in der Vorlesung nur knapp 2 Minuten vor Schluss behandelt haben aber die Übung erledigen müssen.

*aleph_0

MaSTaH schrieb:

@\aleph_0: Ich verstehe leider nicht alles von dem was du sagst, da ich erst im ersten Semester bin . Was verstehst du unter Kontraposition?

Also mit \in meine ich "ist Element von" (LaTeX-Notation) und Kontraposition heißt: (A => <==> (~B => ~A), d.h. du kannst (A => beweisen, indem du (nicht B => nicht A) beweist. Hier wäre das
(inf' > sqrt(2)) => (inf' ist keine obere Schranke von M).

*aleph_0

MaSTaH schrieb:

Also, zu zeigen ist: inf{x > 0 : x² > 2} = sqrt(2)

x² > 2 | sqrt(...)
x > sqrt(2) | -sqrt(2) fällt weg, da x > 0

Hab ich damit schon das Infimum bewiesen?

Damit hast du eine untere Schranke gezeigt. Du musst noch beweisen, dass dies die größte untere Schranke, also das Infimum ist.

Walli

Vielen Dank , ich schaue mal was ich damit anfangen kann.

Jester

Kleiner Tipp bei sowas:

einfach auf die untere Schranke mal ein Epsilon(>0) draufaddieren. Und dann annehmen das sei immer noch ne untere Schranke. Dann kann man aber meist zeigen, Schranke + epsilon/2 immer noch in der Menge ist, also Schranke+epsilon keine untere Schranke war.

Walli

Also ich hab das jetzt so gemacht:

Behauptung:
√2 ist Infimum

Beweis:
(√2 + ε)² = 2 + (2ε√2) + ε² > 2 , ε beliebig klein aus |R

Walli

Ist das so mathematisch korrekt?

Jester

Ich würde sagen nicht so ganz. Das Prinzip stimmt.

Schreib einfach mal genauer auf was Du tust.
Du hast ne untere Schranke γ.
Jetzt willst Du zeigen, daß das die größte untere Schranke ist.
Nehmen wir mal an, sie wäre es nicht, dann ex. ein ε>0: γ+ε ist größte untere Schranke.
Und jetzt suchst Du einen Wert, der zur Menge gehört, aber kleiner als diese neue Schranke ist. Kandidat ist bei sowas immer γ+ε/2, für das weist Du jetzt nach, daß es zur Menge gehört (hast Du ja schon erledigt). Das steht dann aber im Widerspruche zu der besseren unteren Schranke.

Alternativ kannst Du auch sagen, Du addierst 2ε auf die US, dann kannste die Beweiszeile wie Du sie geschrieben hast übernehmen. Denn wenn 2ε bel klein wird, dann auch ε und umgekehrt.

MfG Jester

Walli

Danke Jester !