4. Fakultät in logarithmischer Lauftzeit berechnen

Fakultät in logarithmischer Lauftzeit berechnen


  • Du hast nicht zufällig einen Paralellrechner zur Verfügung? 😉

    0
  • K

    Du könntest vieleicht die Primfaktorzerlegung berechnen und die dann ausmultiplizieren. Für die Fakultät geht die Primfaktorzerlegung relativ schnell. Fragt sicht nur ob relativ schnell schnell genug ist... Ich vermute mal eher nicht.

    0
  • C

    Die Idee ist nicht schlecht ... aber denke auch, daß ist nicht die gesuchte Lösung ... werde es aber spasseshalber mal programmieren ...

    danke ...

    0

  • Und, hat dein Prof mal gesagt, wie der Trick sein soll?

    0
  • W

    TGGC schrieb:

    Und, hat dein Prof mal gesagt, wie der Trick sein soll?

    Klar, am Wochenende 🙄 😃 .

    0
  • V

    http://www.luschny.de/math/factorial/SrcJava/FactorialSimpleSwing.html

    0
  • C

    also sehe meinen Prof wirklich nur sehr selten am We 😉 😃 ... aber werde es, wenn dann auch erst nächste Woche Freitag erfahren ... bis dahin habe ich Zeit ... und es wäre absolut genial, wenn ich das irgendwie hinkriegen würde ...

    0

  • volkard schrieb:

    http://www.luschny.de/math/factorial/SrcJava/FactorialSimpleSwing.html

    Wie kann das logarithmische Laufzeit haben? Das for in swing() läuft doch mit O(n), weil die Schleife n Schritte macht. Zwar nicht auf einmal, aber insgesamt schon, da m ja nur im Schleifenkopf geändert wird.

    0
  • V

    TGGC schrieb:

    volkard schrieb:

    http://www.luschny.de/math/factorial/SrcJava/FactorialSimpleSwing.html

    Wie kann das logarithmische Laufzeit haben? Das for in swing() läuft doch mit O(n), weil die Schleife n Schritte macht. Zwar nicht auf einmal, aber insgesamt schon, da m ja nur im Schleifenkopf geändert wird.

    korrekt. hat lineare. dabei sah das so schnell aus.
    ich überleg morgen den ganzen tag, aber ich fürchte, da find ich nix.

    @CBR-Racer: was habt ihr gerade an vorlesungsstoff dran? vielleicht gibt das uns nen tip.

    0
  • W

    Ich weiß nun nicht genau, wie die Laufzeit berechnet wird. Ich denke mal, dass es die Anzahl der Multiplikationen in Abh. von n sind. Dann habe ich auf jeden Fall einen Algo gefunden, der die Fakultät in O(n/2) ausrechnet (wenn man das Multiplizieren mit 2 nicht mitrechnet 🙄 ). Es ist ja z.B.

    8! = 5 * ((5-1)(5+1)) * ((5-2)(5+2)) * ((5-3)(5+3))
   = 5 * (25-1²) * (25-2²) * (25-3²)

    Mit q = (n/2 + 1) gilt allgemein

    n! = q * (q²-1²) * (q²-2²) * ... * (q²-(q-2)²)

    Setzen wir nun
    ak=q2−k2,a_k = q^2 - k^2,
    dann gilt
    ak+1=(q2−k2)−2k−1=ak−(2k+1).a_{k+1} = (q^2 - k^2) - 2k - 1 = a_k - (2k + 1).
    Wenn wir nun die Multiplikation mit 2 vernachlässigen, so können wir also ak+1 aus ak ohne Aufwand berechnen. Da nun
    n! = q \cdot a\_1 \cdot a\_2 \cdot \dots \cdot a_{q-2},
    haben wir
    q−2=n2+1−2=n2−1q-2 = \frac{n}{2} + 1 - 2 = \frac{n}{2} - 1
    Multiplikationen.

    EDIT: Bei ungeradem n kommt noch eine Multiplikation mit n dazu.

    0
  • S

    WebFritzi schrieb:

    Ich weiß nun nicht genau, wie die Laufzeit berechnet wird. Ich denke mal, dass es die Anzahl der Multiplikationen in Abh. von n sind. Dann habe ich auf jeden Fall einen Algo gefunden, der die Fakultät in O(n/2) ausrechnet (wenn man das Multiplizieren mit 2 nicht mitrechnet 🙄 ).

    Bin jetzt zu muede, die genaue Definition nachzuschlagen, aber auf jedenfall ist O(n/2) = O(n). Und damit sind wir wieder am Anfang.

    0
  • W

    SG1 schrieb:

    Bin jetzt zu muede, die genaue Definition nachzuschlagen, aber auf jedenfall ist O(n/2) = O(n). Und damit sind wir wieder am Anfang.

    Na jut, dann ist das wohl diese lineare Geschichte.
    O(n)={f:N→R∣∃a,b∈Rmitf(n)=an+b}O(n) = \{f: \mathbf{N}\to\mathbf{R}\,|\, \exists a,b\in\mathbf{R}\;mit\; f(n) = an + b\}

    0
  • G

    Ich weiß garnicht, warum hier jeder irgendwas kompliziertes berechnen will. Es ist vollkommen legitim und natürlich, bei einer Funktion, die nur für etwa 20 Werte sinnvolle Ergebnisse liefert, die Ergebnisse einfach direkt in den Quellcode zu schreiben. Schreib sie in ein Array, dann kriegst du O(1), wenn dir das zu schnell ist und du nichts schnelleres als O(log(n)) haben möchtest (wobei O(1) eigentlich in O(log(n)) liegt), dann schreib sie halt in nen Baum und such sie dir mit binärer Suche raus. 😉

    Oder sollt ihr die Funktion für einen Datentyp schreiben, der ein paar hundert Stellen lange Zahlen erlaubt?

    0
  • G

    WebFritzi schrieb:

    SG1 schrieb:

    Bin jetzt zu muede, die genaue Definition nachzuschlagen, aber auf jedenfall ist O(n/2) = O(n). Und damit sind wir wieder am Anfang.

    Na jut, dann ist das wohl diese lineare Geschichte.
    O(n)={f:N→R∣∃a,b∈Rmitf(n)=an+b}O(n) = \{f: \mathbf{N}\to\mathbf{R}\,|\, \exists a,b\in\mathbf{R}\;mit\; f(n) = an + b\}

    Deine Definition ist falsch. Die O-Notation ist wie folgt definiert:

    O(g(n)) = {f:N->R | Es gibt ein c aus R+ und es gibt ein n0 aus N, so dass für alle n >= n0 gilt: |f(n)| <= c|g(n)|}

    0
  • W

    Na gut. Ist ja so ähnlich. Also
    O(n)={f:N→R∣∃a,b∈R+mit∣f(n)∣≤an+b}O(n) = \{f: \mathbf{N}\to\mathbf{R}\,|\, \exists a,b\in\mathbf{R}^+\;mit\; |f(n)| \le an + b\}

    0
  • C

    also vom Thema kommt man leider auch nicht auf die Lösung, weil Thema ist ganz einfach Einführung in C ... und da ich da schon mal nen Vorlesung drüber hatte, kriege ich jetzt regelmäßig schwierigere Aufgaben ... die anderen müssen das ganze nur rekursiv programmieren ... echt schwer 😡 ... naja was solls ...

    @ Gregor ... nein nichts mit Datentyp oder so, aber ich denke, das ist auch nicht der Trick, den der prof meinte ... wenn es überhaupt einen Trick gibt ...vielleicht soll ich ja auch einfach nur drauf kommen, daß es so einen Algorithmus gar nicht gibt ... 😕

    @ WebFritzi ... das ist leider auch wieder linear, aber sah echt interessant aus die Rechnung ... muss ich mri auf jedenfall merken ...

    0
  • ?

    Ich würde für alle n<=10 die Werte in eine Tabelle schreiben. Für n>10 kann man die Stirling-formel benutzen, aus der sich ergibt:

    ln(n!) ~ (n+1/2) * ln n - n + ln(2*PI)

    Für n>10 liefert das sehr genaue Werte und sollte in logarithmischer Zeit laufen ... denk ich ...

    Gruß

    0
  • J

    Nein, das läuft in konstanter Zeit... außerdem ist es nicht 100% exakt.

    @Gregor: Es geht hier darum einen Algorithmus für Fakultät zu implementieren und zwar für einen beliebigen Datentyp. Deine Antwort ist aus Sicht eines Implementierers zwar vernünftig, aber aus der Sicht der Informatik paßt sie nicht zur Aufgabenstellung. Auch Sortierung läßt sich in O(1) erledigen. Einfach alle möglichen Ordnungen als Index in die Tabelle der korrekt sortierten Mengen verwenden. Jede Funktion ist über einem endlichen Definitionsbereich O(1), aber das ist hier nicht der Punkt.

    Zum Thema n! fällt mir leider auch nicht viel ein, das heißt eines eben doch:

    wir können zum Beispiel

    (2*n)! = Produkt(alle ungeraden Zahlen < n) * 2^n * (n/2)! die rechte Seite krieg man also klein(2^n ist sehr gut berechenbar). Das Problem sind die ungeraden Zahlen, kann man da auch was machen? Oder bringt es was die Produkte der ungeraden Zahlen links+rechts irgendwie durch quadrieren wiederzuverwenden?

    MfG Jester

    0
  • ?

    Im Übrigen:
    Will man n! nach den bisherigen Ansätzen für beliebig große Zahlen implementieren, dann sind diese sogar noch wesentlich schlechter als O(n), da auch die Multiplikation mit größerem n WESENTLICH aufwendiger wird. Was auch der Grund ist, weswegen ein Rechner eine gute lange lange Zeit beschäftigt ist um 1.000.000! auszurechnen.

    Ich weiß, dass die Stirling - Formel verbesserbar ist. Allerdings weiß ich
    nicht ob diese Verbesserung beliebig weitergeführt werden kann.

    0
  • J

    Jo klar, da es hier aber um die theoretische Komplexität der Berechnung von n! geht tun wir einfach mal so, als sei das multiplizieren dieser riesigen Zahlen kein Problem. Wir wollen nur schaun, ob wir das hinkriegen.
    Die Multiplikation sehr großer Zahlen ist ein Problem für sich, bis jetzt kommt man da auf O(n*log n) (FFT). Ob das auch untere Schranke ist weiß ich leider nicht.

    MfG Jester

    0
Anmelden zum Antworten