lineare Abbildungen
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Sei f eine lineare Abbildung: f:V->W (V,W Vektorraum), und {v1,v2,..,vn} Basis von V. Wenn ich jetzt f(vi)=wi für alle i aus {1,2,...,n}, wi aus W gegeben habe, wie kann ich dann die einzelnen Komponenten von v aus V allgemein berechnen?
Also z.B.:
\\ $\mathbb{R}^{3} = \mathbb{R}^{3}$ ?? Woran liegt das? Fehler im Forum?\\ \\ $ V = \mathbb{R}^{2} $ \\ $ W = \mathbb{R}^{3} $ \\ $((2,1),(1,3))=(v\_1,v\_2)$ Basisfolge von $V$\\ $f$ ist lineare Abbildung: \\ $f: V \to W$\\ $v_1 \mapsto (1,4,2)$ \\ $v_2 \mapsto (6,13,1)$ \\ \\ $f((a\_1,a\_2)) = (b\_1,b\_2,b_3)$\\ Wie berechne ich $b\_1$, $b\_2$ und $b_3$ ?Ich hab das zwar irgendwann schonmal gemacht, aber dafür musste ich dann erstmal dim(W) Gleichungssysteme lösen, irgendwie gehts aber wohl auch mit einem.
PS: haben die Warnungen die bei mir über der Vorrschau stehen irgendwas mit meinem schlechtem LaTeX code zu tun?
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Du hast ja die Bilder von v1,...,vn und da Du jeden Vektor in dieser Basis darstellen kann, also x = Σ a_i*v_i
dann ist f(x) = f(Σa_i*v_i) = Σa_i*f(v_i) = Σa_i*w_i
Damit hast Du das Bild berechnet. Du willst vermutlich eine Formel, die Dir sagt, worauf x = (c_1,...,c_n) abgebildet wird, oder?
Dazu ist es sinnvoll, zunächst rauszufinden auf was (1,0,...,0), (0,1,0,...,0) etc. abgebildet werden. Damit kriegst Du Formeln für die einzelnen Koeffizienten.Das berechnen der einzelnen Bilder kannst Du nach obigem Schema machen, das sind zwar n Gleichungen, wenn man sich's genau anschaut kann man aber alles nebeneinander schreiben und im Prinzip ist es nix anderes als die Matrix (v_1|...|v_n) zu invertieren.
MfG Jester
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ok, danke