Rekursive Folge

Walli

Hallo zusammen,

es ist wieder Sonntagabend und mein Matheblatt ist fast fertig. Wenn da nicht diese blöde rekursive Folge wäre die mir den letzten Nerv raubt.

Es sei x₀ := 2 und
x_n := 1/2 * (x_n-1 + 2/x_n-1) = x_n-1 - (x_n-1² - 2) / (2x_n-1) , n $\in$ |N

a) Zeigen sie, dass die Folge (x_n) n $\in$ |N₀ konvergiert, und geben sie ihren Grenzwert an.

Hinweis: Zeigen sie, dass √2 ≤ x_n ≤ √2 + x₁/2^n-1

b) Beweisen sie die Einschließung
0 ≤ x_n - √2 ≤ x_n - 2/x_n

Also bei a) komm ich bei den Umformungen immer auf Blödsinn und bei der b) fehlt mir der Ansatz zum Beweis des rechten Teils.

Naja, vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich. Würde mich jedenfalls sehr freuen über kleine Ratschläge.

Gruß,

Mastah

versuchs mal mit den Quotientenkriterium

Walli

Also bei a) tappe ich noch im dunkeln, aber bei b) fehlt mir nur noch der Beweis für

x_n - √2 ≤ 3/2ⁿ

fubar

zu a)
Versuch:
lim(n->oo)x_n=lim(n->oo)(x_n-1)=:x

=> x=1/2*(x+2/x) => x^2=2 => x=+-sqrt(2)

Jetzt kann man zeigen, daß die Folge monoton und konv. ist und hat so den Grenzwert...

Hoffe das stimmt so ungefähr und sorry für die schlechte Formatierung, habe keine Zeit das in LaTeX umzusetzen (es reicht ja anscheinend nicht mal für eine ordentliche Kommasetzung)

Walli

Tipper schrieb:

versuchs mal mit den Quotientenkriterium

Wir hatten bislang aber nur das Cauchy-, Monotonie, und Majorantenkriterium. Damit komme ich aber irgendwie nicht wirklich weiter.

EDIT: Ich versuche es mal mit dem Einschließungskriterium.

Taurin

fubar schrieb:

Jetzt kann man zeigen, daß die Folge monoton und konv. ist und hat so den Grenzwert...

Müsste es nicht heißen: ...dass die Folge monoton und beschränkt ist,
also konvergent ist und deswegen einen Grenzwert hat?

fubar

Taurin schrieb:

Müsste es nicht heißen: ...dass die Folge monoton und beschränkt ist,
also konvergent ist und deswegen einen Grenzwert hat?

Ups, ja genau... Man will ja gerade die Konvergenz zeigen

Walli

Danke euch. Aber wie kann ich zeigen, dass folgendes gilt?
√2 ≤ x_n ≤ √2 + x₁/2^n-1

An den Grenzwert komme ich nachdem ich dies gezeigt habe ziemlich einfach durch das Einschließungskriterium...

Walli

Danke euch, ich habe es mit Hilfe von fubars Tip geschafft .