4. Exponentialfunktion... Wozu? oO

Exponentialfunktion... Wozu? oO

  • G

    naja nimm zum beispiel mal den zerfall von bierschaum.
    du hast am anfang eine bestimmte anzahl von volumeneinheiten.
    nach 2 min. hast du zB 420 VE, nach 3 min 215 VE und nach 4 min. 108 VE.
    Das versuche mal mit einer Funktion darzustellen. Ich fand nur den Weg über eine Exponentialfunktion.

    Hier hatte ich mit 2 unbekannten gearbeitet.
    V(t)=a∗eb⋅tV(t)=a*e^{b \cdot t}

    Entsprechend 2 Wertepaare eingesetzt und zu einer Funktoin mit der Gleichung
    V(t)=987∗e−0.42883⋅tV(t)=987*e^{-0.42883 \cdot t} gekommen.

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  • M

    Und wenn man statt e irgendeinen anderen Wert nimmt, wird der Exponent, der hier -0,42883*t ist eben entsprechend anders sein... 😕

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  • G

    stimmt.
    davon mal abgesehen sind die wertepaare hier eh falsch. hab in der falschen aufgabe nachgesehen *g*
    t=2 | V(t) = 419
    t=3 | V(t) = 273
    muss das heissen. aber nur ne nebensächlichkeit 😃

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  • M

    Nagut, man kann hier e verwenden, man hier auch 2 verwenden oder als Basis auch -90, wieso also sollte man hier e nehmen?

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  • T

    Weil man mit der e-Funktion so schön Rechnen kann. Das fängt schon damit an,
    dass das Ableiten leichter wird, Zusammenhänge bei gleicher Basis besser
    zu vergleichen sind, die Eulersche Identität im Komplexen interessant sein
    könnte, der ln auf jedem Taschenrechner mit einem Tastendruck
    zu erreichen ist, natürlich auch Gewohnheit....

    In anderen Zusammenhängen können aber durchaus auch andere Basen Sinn machen.
    Alles ein Frage, was du damit weiter machen willst.

    @Jester: Die Reihe ist sogar ganz furchtbar gutartig, weil sie absolut konvergiert 🙂

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  • G

    ich werfe hier gleich mal ne andere frage in den thread *g*

    also ich hab ne funktion f(x)=(2-x)*e^x. F(x)=e^x*(3-x)
    Der Graph der Funktion begrenzt mit der x-Achse eine unendliche Punktmenge. Gibt es einen Zahlenwert für den Flächeninhalt?

    Ich würd mal sagen, nein!
    Da lima→−inf∫a→2ex⋅(3−x)\lim {a \to -\inf} {\int{a \to 2} {e^x \cdot (3-x)}} nicht existiert, oder gibts andere vorschläge?!

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  • T

    Ich komm drauf, dass links der NST die eingeschlossene Fläche gleich e^2 ist,
    rechts der NST aber über alle Grenzen wächst, also kann man insgesamt keinen
    Zahlwert angeben.

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  • M

    Ich will aber ein Beispiel haben, wo man sieht warum man Exp benutzen soll, dass man es benuitzen kann, ist ja nicht die Frage...

    Mfg AV

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  • W

    Mis2com schrieb:

    Ich will aber ein Beispiel haben, wo man sieht warum man Exp benutzen soll

    Du musst in der Mathematik garnichts. Fühle dich frei in dem, was du tust, aber sei dir stets sicher, dass du keine Fehler machst.

    Mis2com schrieb:

    dass man es benuitzen kann, ist ja nicht die Frage...

    Gut. Wenn man's kann, warum soll man's dann nicht tun. Wie gesagt: Exp() hat sehr viele schöne Eigenschaften. Warum soll man die Funktion also nicht benutzen, wenn man's kann?!

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  • M

    WebFritzi schrieb:

    Mis2com schrieb:

    Ich will aber ein Beispiel haben, wo man sieht warum man Exp benutzen soll

    Du musst in der Mathematik garnichts. Fühle dich frei in dem, was du tust, aber sei dir stets sicher, dass du keine Fehler machst.

    Mis2com schrieb:

    dass man es benuitzen kann, ist ja nicht die Frage...

    Gut. Wenn man's kann, warum soll man's dann nicht tun. Wie gesagt: Exp() hat sehr viele schöne Eigenschaften. Warum soll man die Funktion also nicht benutzen, wenn man's kann?!

    OK, dann so:
    Ich will ein Beispiel haben, wo man sieht, wie man die nützlichen Eigenschaften von Exp verwenden kann, ein praktisches Beispiel! 🙂

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  • J

    Ladung/Entladung von Kondensatoren, Gauß'sche Dichtefunktion (Stochastik), es gibt etliche Beispiele. Man könnte natürlich auch ohne auskommen, wär aber oft umständlicher, weil man einen weiteren Faktor im Exponenten bräuchte.

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  • M

    Kann mir denn wer ein Beispiel erklären? 🙂

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  • A

    Man hat dir doch schon ein paar Beispiele erklärt.
    Warte ab, bis du in der Schule weitere Beispiel kriegst.
    Bis dahin, machs dir schön gemütlich, schnapp dir nen Keks,...

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  • M

    Nein, die Beispiele wurden nur bis zu dem Punkt erklärt, wo man die Exponentialfunktion hat, aber nicht, wie man dann weitermacht, um etwas Praktisches zu erreichen. 😞

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  • A

    http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien

    Lies dies und lerne.

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  • J

    die exponentialfunktion ist vorallem dann auch im zusammenhang mit komplexen zahlen wichtig.

    weil in C gilt: $$e^{ix}=\cos x + i\sin x$$

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  • W

    Mis2com schrieb:

    Kann mir denn wer ein Beispiel erklären? 🙂

    Na gut, mir ist da was eingefallen. Lineare Differentialgleichungen mit lokal integrierbaren Koeffizienten:

    Gesucht ist eine stetig differenzierbare Funktion y:R→Ry:\mathbf{R}\to\mathbf{R}, die die folgende Differentialgleichung erfüllt:
    y′(x)+a(x)y(x)=b(x)y'(x) + a(x)y(x) = b(x)

    Lösung: Sei A(x)A(x) eine Stammfunktion von aa und B(x)B(x) eine Stammfunktion von b(x)eA(x)b(x)e^{A(x)}. Dann ist y(x)=B(x)e−A(x)y(x) = B(x)e^{-A(x)} eine Lösung, denn

    y′(x)+a(x)y(x)=b(x)−B(x)a(x)e−A(x)+a(x)B(x)e−A(x)=b(x)y'(x) + a(x)y(x) = b(x) - B(x)a(x)e^{-A(x)} + a(x)B(x)e^{-A(x)} = b(x)

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  • L

    Gutes Beispiel, wenn Mis2Com nicht wusste wie man e^x ableitet und die herleitung über Differenzenquotient nicht versteht, kann er sicher solche DGLs lösen...

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  • K

    japro schrieb:

    die exponentialfunktion ist vorallem dann auch im zusammenhang mit komplexen zahlen wichtig.

    weil in C gilt: $$e^{ix}=\cos x + i\sin x$$

    Auch bei vielen physikalischen Problemen, deren sinnvolle Lösungen generell reell sind, geht man den Umweg über die e-Funktion um dann ne komplexe allgemeine Lösung zu erhalten. Erst dann stellt man die Forderung, dass sich reelle Lösungen ergeben sollen.
    Da die e-Funktion einfachen Potenzgesetzen gehorcht ist das oft der bessere Weg (als mit Additionstheoremen trigonometrischer Funktionen herumzuhantieren). Aber lustig hat schon recht - da gibts halt wenig verständliche Beispiele, wenn man die e-Funktion nicht ableiten kann o.ä. ... hinnehmen und gut 😉

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