4. 1 eine primzahl ?

1 eine primzahl ?

  • A

    Winn schrieb:

    Jester schrieb:

    ...über Ideale in Ringen definieren...

    ist jetzt hier OT, aber ich hatte Ringe mal in Zusammenhang mit Gröbner Basen gehört die irgendwie Ringe bilden... verstanden hab ich es nicht... werde es allerdings demnächst benötigen...

    Willst du jetzt wissen was Ringe sind oder wolltest du nur mal anmerken, dass Gröbner Basen Ringe bilden, so im Sinne:"Gut, dass wir darüber geredet haben"?

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  • W

    asmodis schrieb:

    Willst du jetzt wissen was Ringe sind oder wolltest du nur mal anmerken, dass Gröbner Basen Ringe bilden, so im Sinne:"Gut, dass wir darüber geredet haben"?

    öhm, ich wollte es verstehen... d.h. es ist OT, aber wenn die Gröbner Basen etwas mit den Primzahlen zu tun haben und ich die Gröbner Basen benötige um ein "reproduzierbares" Lifting Scheme der Wavelet Transformation zu bilden, dann treffen sich hier vielleicht noch mehr... und wenn es jemand weiß, Du oder Jester, dann würde ich es gerne wissen bzw. verstehen... natürlich unter der Prämisse, daß jemand so nett ist.

    0
  • W

    p>1 ist prim :<=> (Für alle a,b aus |N gilt: p|a*b => p|a oder p|b)

    0
  • A

    (G,∘)(G,\circ) heißt Gruppe, falls folgendes gilt:
    (1) Assoziativgesetz ∀x,y,z∈G:(x∘y)∘z=x∘(y∘z)\forall x,y,z \in G:(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)
    (2) neutrales Element: ∃0∈G:0∘x=x∘0=x  ∀x∈G\exists 0 \in G : 0 \circ x =x \circ 0=x\ \ \forall x \in G
    (3) Inverse Elemente ∀x∈G ∃1y∈G:x∘y=y∘x=0\forall x \in G\ \exists_1 y \in G: x \circ y= y \circ x=0

    Falls nun noch x∘y=y∘x  ∀x,y∈Gx \circ y = y \circ x\ \ \forall x,y \in G gilt, spricht man von einer abelschen oder kommutativer Gruppe.

    (R,+,⋅)(R,+,\cdot) heißt Ring, wenn folgende Axiome gelten:
    (1) (R,+)(R,+) ist eine kommutative Gruppe.
    (2) ∀x,y,z∈R:(xy)z=x(yz)\forall x,y,z \in R:(xy)z=x(yz) (Assoziativgesetz für ⋅\cdot)
    (3) ∀x,y,z∈R:x(y+z)=xy+xz     (x+y)z=xz+yz\forall x,y,z \in R: x(y+z)=xy+xz\ \ \ \ \ (x+y)z = xz + yz (Distributivgesetz)

    Wenn nun für diese Gröbner Basen alle Axiome gelten, dann bilden sie einen Ring. (Was sind eigentlich diese Gröbner Basen?)

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  • W

    asmodis schrieb:

    (3) Inverse Elemente ∀x∈G ∃1y∈G:x∘y=y∘x=0\forall x \in G\ \exists_1 y \in G: x \circ y= y \circ x=0

    Falls nun noch x∘y=y∘x  ∀x,y∈Gx \circ y = y \circ x\ \ \forall x,y \in G gilt, spricht man von einer abelschen oder kommutativer Gruppe.

    Dankö ! Diese beiden bekomme ich nicht so ganz verstanden, weil ich mit der Mathe Syntax
    ∀x∈G ∃1y∈G\forall x \in G\ \exists_1 y \in G
    bzw.
    ∀x,y∈G\forall x,y \in G
    nicht immer so klar komme - was heißt das ? vielleicht etwas umgangssprachlich formuliert ?

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  • B

    Winn schrieb:

    Dankö ! Diese beiden bekomme ich nicht so ganz verstanden, weil ich mit der Mathe Syntax
    ∀x∈G ∃1y∈G\forall x \in G\ \exists_1 y \in G
    bzw.
    ∀x,y∈G\forall x,y \in G
    nicht immer so klar komme - was heißt das ? vielleicht etwas umgangssprachlich formuliert ?

    Das erste: "Für alle x aus der Menge G gibt es genau ein y aus G"
    und das andere: "Für alle x und y aus G"

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  • W

    Bashar schrieb:

    Das erste: "Für alle x aus der Menge G gibt es genau ein y aus G und das andere: "Für alle x und y aus G"

    D.h. umgangassprachlich, das der erste quasi ein Existenzsatz ist, nach dem Motto für alle x in der Menge G gibt es ein "passendes" Gegenstück welches sich gemeinsam neutralisiert
    -> ∀x∈G ∃1y∈G:x∘y=y∘x=0\forall x \in G\ \exists_1 y \in G: x \circ y= y \circ x=0

    Wenn dann alle obigen Regeln der "Gruppe G" eingehalten werden, dann gibt es eine andere Kombination von x und y die aus der Gruppe G kommen, welches kommutativ vertauscht das gleiche ergeben
    -> x∘y=y∘x  ∀x,y∈Gx \circ y = y \circ x\ \ \forall x,y \in G
    dabei kann es sich um das y handeln, welches x neutralisiert, muß es aber nicht.

    Wenn ich das richtig wieder gegeben habe, dann hab ich es verstanden. Danke !

    asmodis schrieb:

    Wenn nun für diese Gröbner Basen alle Axiome gelten, dann bilden sie einen Ring. (Was sind eigentlich diese Gröbner Basen?)

    Das stelle ich mich nun auch, obige Gesetze oder Regeln kann ich mir vorstellen, aber was ist innerhalb dieser Konstruktion "die oder eine Gröbner Base" ?

    Wikipedia ( http://en2.wikipedia.org/wiki/Grobner_basis )schreibt

    In computer algebra and computational algebraic geometry, a Gröbner basis is a particular kind of generating subset of an ideal in apolynomial ring. Given a Gröbner basis of an ideal I of the polynomial ring R in variables X, Y, ..., T, over a field K, it is computationally simple to decide whether a given polynomial P(X, Y, ..., T) belongs to I, or not. That means that calculations in thefactor ring R/I are decidable, in the sense that P mod I and Q mod I can be compared to see if P-Q mod I is 0. That is a prerequisite for using such rings in practice. In the case of a single variable X, there is no need for the theory since polynomial long division suffices. In the case of several variables, however, we may need to compute with various monomials such as X2Y3 and XY7, without knowing which has priority (is the dominant term in a polynomial). The use of Gröbner basis algorithms removes the difficulty, in a definite way.

    The fundamental fact about Gröbner bases is that they exist; and, as shown by basic work of Buchberger, they are effectively computable for fields K of practical importance, by a simple if possibly long-winded elimination method. The main theoretical burden of the work is the correctness of Buchberger's algorithm: that is, it is known to terminate in a Gröbner basis.

    In detail, given initially a finite set of generators for the ideal I, we can take any two, P and Q, and add to our list MP - NQ where M and N are monomials chosen to make the top term in that combination cancel. We can decide what is the top term by some ordering of lexicographic type (X > Y > Z, say); choice of the ordering gives some computational flexibility. Once that is done, once and for all, the monomials M and N are determinate up to possible constants, by an obvious recipe: for example to make top terms X2Y3 and XY7cancel we multiply the first by M = Y4 and the second by N = X, and subtract.

    The algorithm is then simply to saturate the list: eventually 'nothing new' will result. This generalises the Euclidean algorithm, for polynomials in one variable, where one of M and N can always be taken as 1, and the degree always goes down (hence we shall reach an end point). In this case termination comes out of the so-called Dickson's lemma.

    The Gröbner basis algorithm can certainly be slow to terminate in the worst case; but is of practical use.

    Und das hört sich so an, als ob die gesamte Rechenoperation, sei es der "linke" oder der "rechte" Weg durch den Ring (oder uhrzeigersinn bzw. gegenuhrzeigersinn) jeweils eine Gröbner Base darstellen. Stimmt das ?

    0
  • ?

    also, ich habe das mit den ringen nicht verstanden (es würde jetzt auch nichts bringen mir das zu erklären), aber die definition:

    Jester schrieb:

    Nein, 1 ist keine Primzahl.
    Sie hat nämlich nur einen einzigen Teiler und keine zwei.

    kann ja auch nicht zutreffen, denn dann wäre 0 ja auch eine primzahl. die 0 hat ja sogar unendlich viele teiler (außer eben die 0 an sich)

    trotzdem danke, da hab ich mal wieder was dazugelernt und kann jetzt in der schule mit meinem neu erworbenen wissen angeben 🙂 🙂 🙂

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  • B

    Winn schrieb:

    D.h. umgangassprachlich, das der erste quasi ein Existenzsatz ist, nach dem Motto für alle x in der Menge G gibt es ein "passendes" Gegenstück welches sich gemeinsam neutralisiert
    -> ∀x∈G ∃1y∈G:x∘y=y∘x=0\forall x \in G\ \exists_1 y \in G: x \circ y= y \circ x=0

    Nicht ganz: Es wird auch ausgesagt, dass es nur ein inverses zu jedem y gibt. (\exists_1 statt \exists). (Ich weiß jetzt nicht, ob das so in der Definition stehen muss, oder ob die Eindeutigkeit irgendwie folgt, vermute eigentlich letzteres.)

    Wenn dann alle obigen Regeln der "Gruppe G" eingehalten werden, dann gibt es eine andere Kombination von x und y die aus der Gruppe G kommen, welches kommutativ vertauscht das gleiche ergeben
    -> x∘y=y∘x  ∀x,y∈Gx \circ y = y \circ x\ \ \forall x,y \in G
    dabei kann es sich um das y handeln, welches x neutralisiert, muß es aber nicht.

    Sicher, aber es geht hier nicht um das Inverse, nur um die Vertauschbarkeit.

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  • J

    🙂 schrieb:

    kann ja auch nicht zutreffen, denn dann wäre 0 ja auch eine primzahl. die 0 hat ja sogar unendlich viele teiler (außer eben die 0 an sich)

    😕

    0 hat unendlich viele Teiler, korrekt. Primzahlen haben genau 2. Also ist 0 nicht prim.

    @Bashar:

    Sei x \in G, y1, y2 seien Inverse, dann gilt:
    y1 = y1 o e = y1 o (x o y2) = (y1 o x) o y2 = e o y2 = y2
    also eindeutig bestimmt. Existenz genügt.

    Es genügt meines Wissens: Assoziativität, ex. links-Eins, ex. links-Inverse. Der Rest folgt.

    MfG Jester

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  • S

    Jester schrieb:

    Es genügt meines Wissens: Assoziativität, ex. links-Eins, ex. links-Inverse. Der Rest folgt.

    Und Abgeschlossenheit (setzen wohl alle stillschweigend voraus, aber ich finds wichtig, das zu erwaehnen).

    0
  • J

    Stimmt *G*.

    Deswegen sag ich sonst auch immer Halbgruppe + linkseins + linksinvers, dann bin ich auf der sicheren Seite. 😉

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  • S

    Monoid mit Linksinversen *g*

    0
  • J

    Damit forderst Du schon wieder mehr. Monoid fordert nämlich rechts+links-neutral.

    MfG Jester

    0
  • W

    Scheiß Algebraiker! 😉

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