adjunkte einer matrix?

[gerhardt]

hi!
was ist eine adjunkte einer matrix und fürwas brauch ich das?

danke

[Gast]

Hallo.

Die Adjunkte
$A_{kj}$
zu dem Matrixelement
$a_{kj}$
ist die Determinante der Untermatrix von A, die sich durch streichen der k-ten Zeile und j-ten Spalte ergibt, multipliziert mit
$(-1)^{j+k}$

Beispiel

$A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{array} \right)$

Dann wäre

A_{1,2} = (-1)^{1+2} * \det \left( \begin{array}{cc} 4 & 6\\ 7 & 9\\ \end{array} \right) = (-1)^3 * ((4\*9)-(7\*6)) = 6

Brauchen kann man das z.B. für den Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinanten.
Sei A eine NxN Matrix
Dann gilt
$det(A) = \sum_{i=1}^n a_{k,i} \cdot A_{k,i}$
Hierbei ist k eine bel. aber fest gewählt Zeilennummer mit 1<=k<=n.
Man kann also die Berechnung von einer Determinante auf die Berechnung einer Unterdeterminante zurückführen.

[asmodis]

Brauchen kann man das z.B. für den Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinanten

Da braucht man aber nicht die adjunkte Matrix, sondern eben nur die Matrizen, die durch streichen der Zeile und Spalte entsteht.

Die Adjunkte Matrix ist praktisch nicht zu gebrauchen. Man kann sie aber manchmal für Beweise brauchen.

Man kann theoretisch die Inverse einer Matrix mithilfe der adjunkten Matrix ausrechnen, ist aber eine Heidenarbeit.

[Gast]

Doch dafür braucht man die Adjunkte.
Schau dir doch bitte mal die Summe genauer an.